مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة بجاية — الموضوع 02

Pour $s \in \mathbb{R}$, on considère l'espace de Sobolev $H^s(\mathbb{R}^N)$ dont la norme associée au produit scalaire est notée $\|\cdot\|_s$.

1. Montrer que $H^s(\mathbb{R}^N)$ est un espace de Hilbert et que si $s_1 \geq s_2$ alors $H^{s_1}(\mathbb{R}^N) \subset H^{s_2}(\mathbb{R}^N)$.
2. Soit $m \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}^N$, $0 < |\alpha| \leq m$, il existe $C > 0$ tel que

$$\forall \xi \in \mathbb{R}^N : \quad \prod_{j=1}^{N} |\xi_j|^{2\alpha_j} \leq (1 + |\xi|^2)^m \leq C \left( 1 + \sum_{0 < |\alpha| \leq m} \prod_{j=1}^{N} |\xi_j|^{2\alpha_j} \right).$$

3. En déduire que lorsque $s = m \in \mathbb{N}$, l'espace $H^m(\mathbb{R}^N)$ coïncide avec l'espace $E = \{ u \in L^2(\mathbb{R}^N),\ D^\alpha u \in L^2(\mathbb{R}^N),\ |\alpha| \leq m \}$ et que la norme $\|u\|_m^2$ est équivalente à la norme

$$|u|_m^2 = \sum_{|\alpha| \leq m} \|D^\alpha u\|_{L^2(\mathbb{R}^N)}^2.$$

Soit $I$ l'intervalle ouvert $]0, 1[$ et $f \in L^2(I)$. Pour $(u, v) \in H^1(I) \times H^1(I)$, on pose

$$a(u, v) = \int_I u'v'\, dx + \left( \int_I u\, dx \right) \left( \int_I v\, dx \right)$$

1. Montrer qu'il existe un unique $u \in H^1(I)$ tel que $a(u, v) = \int_I f v\, dx$, $\forall v \in H^1(I)$.
2. Vérifier que $u \in H^2(I)$ et trouver l'équation différentielle et les conditions aux limites satisfaites par $u$.

On considère le système différentiel autonome de $\mathbb{R}^2$

$$\begin{cases} x' = x^2 - y \\ y' = (x + x^3)(y - 1) \end{cases} \qquad (1)$$

1. (i) Tracer l'allure du champ de vecteurs (1). (ii) Décrire l'effet de la symétrie $s : (x, y) \to (-x, y)$ sur le portrait de phase de (1). (iii) Montrer qu'il existe une droite qui est réunion d'orbites de (1) que l'on déterminera.
2. Déterminer parmi les points d'équilibre $P_1 = (1, 1)$, $P_2 = (-1, 1)$ et $Q = (0, 0)$ ceux qui sont stables, ou bien asymptotiquement stables.
3. On introduit la région $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x < 0,\ x^2 < y < 1\}$ (la dessiner). (i) Montrer que $A$ est une région positivement invariante pour le système (1). (ii) Pour $m \in \mathbb{R}^2$, on notera $\varphi_m : I_m \to \mathbb{R}^2$, $t \to \varphi_m(t) = (x_m(t), y_m(t))$ la solution maximale de (1) de condition initiale $\varphi_m(0) = m$. Soit $m \in A$. Déterminer $\sup I_m$ ainsi que le comportement de $\varphi_m(t)$ lorsque $t \to \sup I_m$.

Soit $f : I = [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $I$ telle que :

(i) $f$ admet une racine unique $\alpha$ sur $I$. (ii) La dérivée $f'$ est continue et garde un signe constant sur $I$.

Pour estimer la racine $\alpha$, on considère la méthode du point fixe suivante : Connaissant $x_k$ ($k \in \mathbb{N}$) dans $I$, l'itéré $x_{k+1}$ est déterminé par l'intersection, avec l'axe des abscisses, de la droite de pente $1/\omega$ ($\omega \in \mathbb{R}^*$ fixé) passant par le point $(x_k, f(x_k))$.

1. Illustrer graphiquement cette méthode.
2. Déterminer $x_{k+1}$ en fonction de $x_k$.
3. À quelle(s) condition(s), sur le paramètre $\omega$, a-t-on convergence de la suite $(x_k)$ vers $\alpha$ ?
4. En déduire que pour un choix convenable de $\omega$, cette méthode peut toujours être rendue convergente.