مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة وهران 1 أحمد بن بلة — الموضوع 02

Exercice 1. (6 points)

Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie et $A$ borné. Montrer que $\ker A^*=(\operatorname{Im}A)^\perp$. Si $A$ est auto-adjoint et injectif, montrer que son inverse, de domaine $\operatorname{Im}A$, est auto-adjoint.

Exercice 2. (7 points)

Soit $A\in\mathcal L(H)$ tel que $\|A\|\le1$ et $\|A^{-1}\|\le1$. Montrer que $\sigma(A)\subset\{\lambda\in\mathbb C:|\lambda|=1\}$, puis que $A$ est unitaire.

Exercice 3. (7 points)

Résoudre dans $\mathcal D'(\mathbb R)$ l'équation différentielle $xu'+u=0$.