مسابقة دكتوراه 2025 — Centre Universitaire Nour Bachir - El Bayadh — الموضوع 01

(07 points) Le polynôme d'Hermite "espace-temps" d'ordre $n \in \mathbb{N}$ est défini par la relation :

$H_n(x, t) = (-1)^n \frac{t^n}{n!} e^{\frac{x^2}{2t}} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-\frac{x^2}{2t}}\right)$

1. Prouver que pour $\alpha, x \in \mathbb{R}$ et $t \in \mathbb{R}_+$ :

$\exp\left(\alpha x - \frac{\alpha^2 t}{2}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha^n H_n(x, t)$

(indication : on pourra calculer $\frac{d^n}{d\alpha^n}\left(e^{-\frac{(x-\alpha t)^2}{2t}}\right)\Big|_{\alpha=0}$)

2. Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, soit le processus $\mathcal{E}(\alpha B)$ (exponentielle stochastique de $\alpha B$). En exprimant $E(\alpha B)$ de deux manières différentes : a. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $t \gt 0$, on a :

$\int_0^t H_n(B_s, s) dB_s = H_{n+1}(B_t, t)$

b. En déduire que, pour tout $n \geq 0$, le processus $(H_n(B_t, t))_{t \gt 0}$ est une martingale.

(07 points) Considérons l'estimateur à noyau bidimensionnel de la densité $f(x, y)$ à partir de l'échantillon i.i.d. $(X_1, Y_1), \ldots, (X_n, Y_n)$ :

$\hat{g}_n(x, y) = \frac{1}{nh^2} \sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{X_i - x}{h}\right) K\left(\frac{Y_i - y}{h}\right), \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2$

Supposons que la densité $g$ appartient à l'ensemble des densités de probabilité sur $\mathbb{R}^2$ vérifiant la condition de Hölder :

$|g(x,y) - g(x',y')| \leq L(|x-x'|^\beta + |y-y'|^\beta), \quad (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}^2$

avec des constantes données $0 \lt \beta \leq 1$ et $L \gt 0$. Soit $(x_0, y_0)$ un point fixe dans $\mathbb{R}^2$.

1. Établir des bornes supérieures pour le biais et la variance de $\hat{g}_n(x_0, y_0)$, ainsi qu'une borne supérieure pour le risque quadratique moyen en $(x_0, y_0)$.
2. Trouver le minimiseur $h = h_n^*$ de la borne supérieure du risque et la vitesse de convergence correspondant.

(06 points) Un rat se déplace dans un labyrinthe qui comporte neuf compartiments, numérotés de 1 à 9, disposés en grille 3x3. À chaque unité de temps, il change de compartiment. Lorsqu'il est dans un compartiment ayant $k$ portes ($2 \leq k \leq 4$), il choisit l'une de ces $k$ portes avec probabilité $1/k$.

Le cheminement du rat est assimilé à une chaîne de Markov homogène dont l'ensemble des états est formé des neuf compartiments.

1. Écrire la matrice de transition $P$.
2. La chaîne est-elle irréductible, périodique, ergodique ?
3. Montrer que la loi de probabilité $u = (u_1, \ldots, u_9)$, où chaque $u_i$ est proportionnel au nombre de portes que comporte le compartiment $i$, est une loi de probabilité stationnaire pour la chaîne de Markov. Interprétation.