مسابقة دكتوراه 2025 — École Nationale Supérieure de Statistique et d'Économie Appliquée (ENSSEA) — الموضوع 01

La frontière efficiente regroupant l'ensemble des portefeuilles efficients est donnée par l'équation :

$$\bar{R}_P = 0{,}01 + \sqrt{-8\sigma_P^2 + 0{,}4\sigma_P + 0{,}01}.$$

Par ailleurs, le portefeuille de marché est tel que $\bar{R}_M = 0{,}15$ et $\sigma_M = 0{,}02$.

1. Calculer le rendement et le risque du portefeuille à variance minimale.

2. Calculer le taux sans risque $R_f$.

3. Donner l'équation de la nouvelle frontière efficiente (CML).

4. Quelle est la composition d'un portefeuille efficient de rendement espéré égal à 13% ?

Les données concernant les titres 1 et 2 cotés sur une place financière sont reprises sur le tableau suivant :

Titres	$\beta$	$E(R_i)$	Prix
1	1,4	10%	350
2	0,7	8%	75

1. Calculer le taux de l'actif sans risque et le rendement espéré du marché sachant que les titres sont en équilibre selon le CAPM. Donner l'expression de la SML.

2. De nouvelles informations arrivent sur le marché, les prix futurs anticipés par les investisseurs ainsi que les bêtas des titres 1 et 2 sont repris sur le tableau suivant :

Titres	Bêta	Prix futurs
1	1,2	380
2	0,8	87

Calculer la rentabilité exigée par les investisseurs pour les deux titres.

3. Calculer la rentabilité théorique d'équilibre (selon le CAPM).

4. Quelle est la nature de chaque titre.

5. Calculer les prix actuels des deux titres. Expliquer avec quel mécanisme les prix vont s'ajuster à l'équilibre.

Le rendement attendu d'un titre $i$, selon le CAPM, s'écrit souvent de la manière suivante :

$$\bar{R}_i = \alpha + \beta_i \times \bar{R}_M,$$

où $\bar{R}_M$ est la rentabilité attendue du marché.

Déterminez la réponse correcte (avec explication) : le modèle CAPM dit qu'à l'équilibre :

a) $\alpha = 0$

b) $\alpha = R_f$ (où $R_f$ le taux de rendement de l'actif sans risque)

c) $\alpha = (1 - \beta_i)R_f$

d) $\alpha = 1 - R_f$