مسابقة دكتوراه 2025 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie)

التمرين 1

Exercice — Formule de quadrature de type Simpson et estimation d'erreur

#numerical-analysis#quadrature#simpson-rule#error-estimate#taylor

On considère la formule de quadrature

$\int_{-1}^{1} g(x)\,dx \approx \alpha\, g(-1) + \beta\, g(0) + \alpha\, g(1) \qquad (2)$

où les réels $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer.

(1 pt) Sous quelle condition (portant sur $\alpha$ et $\beta$ ) la formule (2) est-elle exacte pour une fonction $g$ constante ?
(1 pt) Sous quelle condition la formule (2) est-elle exacte pour une fonction $g$ polynomiale de degré au plus 2 ?
(1 pt) En déduire le choix de $\alpha$ et $\beta$ rendant la formule (2) exacte pour un polynôme de degré au plus 2.
(1 pt) La formule est-elle exacte pour tout polynôme de degré 3 ? de degré 4 ?
(1,5 pts) À l'aide d'un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature exacte sur l'espace des polynômes de degré au plus 3 pour l'intégrale $\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx$ .
(1,5 pts) En déduire une formule de quadrature composée $F$ pour le calcul approché de $\int_a^b f$ . Cette formule est-elle stable ?
(1,5 pts) Soit $x\in[x_i,x_{i+1}]$ . Écrire une formule de Taylor à l'ordre 3 pour $f$ : $f(x)=P_i(x)+R_i(x)$ avec $P_i\in\mathbb{P}_3$ . Majorer $R_i$ sur $[x_i,x_{i+1}]$ en fonction de $h$ .
(1,5 pts) En déduire une estimation d'erreur entre $\int_a^b f$ et $F$ .

◀الحل

1. Exactitude sur les constantes

Pour $g=1$ : $\int_{-1}^1 1\,dx = 2$ et la formule donne $2\alpha+\beta$ . Condition :

$\boxed{2\alpha+\beta=2.}$

2. Exactitude sur $\mathbb{P}_2$

Par symétrie des nœuds, les fonctions impaires ( $g=x$ ) sont automatiquement intégrées exactement (les deux membres valent $0$ ). Il reste $g=x^2$ : $\int_{-1}^1 x^2 dx = \frac23$ et la formule donne $2\alpha$ . Condition supplémentaire :

$\boxed{2\alpha=\frac23.}$

3. Valeurs de $\alpha,\beta$

$\alpha=\dfrac13$ , puis $\beta=2-\dfrac23=\dfrac43$ . La formule est

$\int_{-1}^1 g \approx \frac13\big(g(-1)+g(1)\big)+\frac43 g(0),$

c'est-à-dire la formule de Simpson.

4. Degrés 3 et 4

Pour $g=x^3$ (impaire), les deux membres valent $0$ : exacte. Donc la formule est exacte pour tout polynôme de degré $\leq 3$ . Pour $g=x^4$ : $\int_{-1}^1 x^4 dx = \dfrac25$ mais la formule donne $\dfrac13(1+1)=\dfrac23 \neq \dfrac25$ . Non exacte au degré 4.

5. Changement de variable affine

Avec $h=x_{i+1}-x_i$ , $m_i=\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}$ , la bijection affine $x=m_i+\dfrac{h}{2}t$ ( $t\in[-1,1]$ , $dx=\dfrac{h}{2}dt$ ) donne

$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx = \frac{h}{2}\int_{-1}^{1} f\!\left(m_i+\tfrac{h}{2}t\right)dt \approx \frac{h}{6}\big[f(x_i)+4f(m_i)+f(x_{i+1})\big],$

formule exacte sur $\mathbb{P}_3$ (l'exactitude est préservée par transformation affine).

6. Formule composée et stabilité

On subdivise $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de pas $h=\dfrac{b-a}{n}$ , $x_i=a+ih$ :

$F = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{6}\big[f(x_i)+4f(m_i)+f(x_{i+1})\big].$

Tous les poids sont positifs et leur somme vaut $b-a$ ; la formule est donc stable (insensible à l'amplification des erreurs d'arrondi).

7. Formule de Taylor et majoration du reste

En développant $f$ à l'ordre 3 autour d'un point de $[x_i,x_{i+1}]$ , $f=P_i+R_i$ avec $P_i\in\mathbb{P}_3$ et reste de Lagrange

$R_i(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-c)^4,\qquad |x-c|\leq h.$

Donc, en posant $M_4=\sup_{[x_i,x_{i+1}]}|f^{(4)}|$ ,

$\boxed{|R_i(x)|\leq \frac{M_4}{24}h^4.}$

8. Estimation d'erreur

La formule de Simpson est exacte sur $P_i\in\mathbb{P}_3$ , donc l'erreur locale ne porte que sur $R_i$ :

$\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}R_i - \frac{h}{6}\big[R_i(x_i)+4R_i(m_i)+R_i(x_{i+1})\big]\right| \leq \frac{M_4}{24}h^5 + \frac{M_4}{24}h^5 = \frac{M_4}{12}h^5.$

En sommant sur les $n=\dfrac{b-a}{h}$ intervalles :

$\boxed{\left|\int_a^b f - F\right| \leq \frac{(b-a)M_4}{12}h^4 = O(h^4).}$

(La constante optimale connue pour Simpson composée est $\frac{(b-a)M_4}{180}h^4$ ; l'argument de Taylor ci-dessus donne une majoration valable, un peu moins fine.)