مسابقة دكتوراه 2025 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 01

1. $x^2-xy+y^2 = \left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\ge 0$, avec égalité ssi $y=0$ et $x=y/2=0$, i.e. $(x,y)=(0,0)$. Donc pour $(x,y)\ne(0,0)$, $x^2-xy+y^2>0$.

2. Coordonnées polaires : $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Alors $f = \dfrac{r^{\alpha+\beta}\cos^\alpha\theta\sin^\beta\theta}{r\sqrt{\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta}} = r^{\alpha+\beta-1}\cdot\dfrac{\cos^\alpha\theta\sin^\beta\theta}{\sqrt{1-\cos\theta\sin\theta}}.$

Le dénominateur $\sqrt{1-\cos\theta\sin\theta}$ est borné et minoré par une constante $>0$ (car $1-\cos\theta\sin\theta\ge 1-1/2=1/2>0$), donc le quotient angulaire est borné uniformément en $\theta$.

• Si $\alpha+\beta>1$ : $r^{\alpha+\beta-1}\to0$ uniformément en $\theta$ (car le facteur angulaire est borné), donc $f(x,y)\to 0$ = limite existe et vaut $0$.
• Si $\alpha+\beta=1$ : impossible car $\alpha,\beta\ge1$ entiers, donc $\alpha+\beta\ge2$ toujours. Ce cas ne se produit pas.
• (Si on admettait $\alpha+\beta=1$, non applicable ici, la limite dépendrait de $\theta$, donc n'existerait pas.)

Donc pour tous $\alpha,\beta\ge1$ entiers (donc $\alpha+\beta\ge2>1$), la limite existe toujours et vaut $0$.

3. Puisque la limite existe et vaut $0$ pour tout $\alpha,\beta\ge1$, on peut prolonger $f$ par continuité en posant $f(0,0)=0$. Le prolongement est alors continu sur $\mathbb{R}^2$.

1. Sur $[0,1]$, $\cos x\in[\cos1,1]\subset]0,1]$ (car $1<\pi/2$). Donc $\cos^n x\to 0$ ponctuellement pour $x\in]0,1]$ tel que $\cos x<1$, i.e. pour tout $x\in]0,1]$ (puisque $\cos x=1$ seulement en $x=0$). À $x=0$, $\cos^n(0)=1$ pour tout $n$.

Donc $\cos^n x\to \mathbf{1}_{\{0\}}(x)$ ponctuellement sur $[0,1]$, qui vaut $0$ presque partout. Domination : $|\cos^n x|\le 1$, intégrable sur $[0,1]$ (mesure finie). Par convergence dominée, $I_n\to\displaystyle\int_0^1 0\,dx = 0$.

2. $\cos x\in[\cos1,1]\subset[0,1]$ sur $[0,1]$ (car $\cos1>0$), donc $\cos^{n+1}x\le\cos^n x$ : $(I_n)$ décroissante. Minorée par $0$. Donc converge (théorème de limite monotone) vers une limite $\ell\ge0$.

Pour montrer $\ell=0$ directement : pour $\varepsilon>0$ petit, sur $[\varepsilon,1]$, $\cos x\le\cos\varepsilon<1$, donc $\int_\varepsilon^1\cos^n x\,dx\le(1-\varepsilon)(\cos\varepsilon)^n\to0$. Sur $[0,\varepsilon]$, $I_n\le\varepsilon$ (borné par la longueur). Donc $\limsup I_n\le\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$, donc $\ell=0$.

3. Près de $x=0$ : $\cos x\approx 1-x^2/2$, donc $\cos^n x\approx e^{-nx^2/2}$ (Laplace). Par la méthode de Laplace : $I_n\approx\int_0^\infty e^{-nx^2/2}dx = \dfrac12\sqrt{\dfrac{2\pi}{n}} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}.$

Donc $I_n\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$.