مسابقة دكتوراه 2017 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

Soit $\varphi : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.

1. Montrer que la formule :

$$(Af)(x) = \varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)f(t)\,dt$$

définit une application linéaire continue de l'espace $L^2([0,1])$ dans lui-même.

2. Montrer que $A$ est auto-adjoint : $A^* = A$.

3. Montrer qu'il existe $\lambda \ge 0$, que l'on précisera, tel que $A^2 = \lambda A$.

4. Déterminer le rayon spectral de $A$ en fonction de $\lambda$ ; le calculer pour $\varphi(x) = \frac{x}{1+x}$.

Soit $(M, g)$ une variété Riemannienne, et soit $\xi \in \Gamma(TM)$, t.q.

$$g(\nabla_X \xi, Y) + g(\nabla_Y \xi, X) = 2k\,g(X,Y), \quad \forall X, Y \in \Gamma(TM),$$

où $\nabla$ est la connexion de Levi-Civita de $(M,g)$, et $k \in \mathbb{R}$. Calculer $R(\xi, X)X$, avec $X \in \Gamma(TM)$.

Soit $(E, \xi)$ un ELC séparé et soit $\mathcal{B}$ la famille de tous les bornés absolument convexes de $E$. Si $B \in \mathcal{B}$ on note $E_B = \bigcup_{\lambda > 0} \lambda B$ le sous-espace vectoriel de $E$.

1) Montrer que $E = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} E_B$.

2) Montrer que $B$ est absorbant dans $E_B$.

3) Soit $P_B$ la jauge de $B$ dans $E_B$. Montrer que $P_B$ est une norme dans $E_B$.

On considère l'EVN $(E_B, P_B)$.

4) Soit $I_B : (E_B, P_B) \to (E, \xi)$ l'injection canonique. Montrer que $I_B$ est continue.

5) Soit $(E, \tau) = \varinjlim \mathrm{ind}\,(E_B, P_B)$. Montrer que $\xi \subset \tau$ et que si $(E, \xi)$ est bornologique alors $\xi = \tau$.