مسابقة دكتوراه 2015 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 01

Partie 2 (10 points)

Soit $\varphi$ une application continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et $f, g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définies par

$$f(x,y) = \int_{x}^{x+y} \varphi(t)\,dt \quad \text{et} \quad g(x,y) = \int_{x}^{xy} \varphi(t)\,dt.$$

1. (03 points) Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.
2. (04 points) Notons par $$ et la différentielle de et au point respectivement. Calculer

$$Df(x,y)(h,k) \quad \text{et} \quad Dg(x,y)(h,k) \quad \text{pour tout } (h,k) \in \mathbb{R}^2.$$

3. (03 points) On définit

$$F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \qquad (x,y) \mapsto F(x,y) = (f(x,y), g(x,y)).$$

On note $B = ]-1,1[ \times ]-1,1[$ et on munit $\mathbb{R}^2$ de la norme $$. Montrer que est lipschitzienne sur .

Indication : Vous pouvez utiliser le théorème des Accroissements Finis ci-dessous.

Théorème (Accroissements Finis). Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ une fonction différentiable sur un ouvert convexe $U$. On suppose qu'il existe tel que quel que soit . Alors quels que soient .

ملاحظة: نص هذا الموضوع منسوخ من ملف DOCX تعرّضت فيه بعض الرموز الرياضية للتشويه، وتمت إعادة بنائها بأفضل قراءة ممكنة.