مسابقة دكتوراه 2015 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

Partie I

Dans tout ce qui suit, $\mathcal{H}$ désigne un espace de Hilbert complexe et $B(\mathcal{H})$ l'algèbre de tous les opérateurs linéaires bornés sur $\mathcal{H}$.

Dans tout ce qui suit $A$ désigne un opérateur linéaire de domaine $\mathcal{D}(A) \subset \mathcal{H}$ et d'image $\mathcal{R}(A) \subset \mathcal{H}$. On note $G(A)$ le graphe de $A$, $A^*$ l'adjoint de $A$ (quand il existe).

1. Soit $M$ un sous espace vectoriel de $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. Montrer que $M$ est le graphe d'un opérateur linéaire ssi, $(0, y) \in M \Rightarrow y = 0$.
2. On définit

$$v : \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}, \qquad (x, y) \longmapsto (y, -x).$$

Montrer que $M = (v[G(A)])^{\perp} \subset \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$ est le graphe d'un opérateur linéaire ssi $A$ est densément défini. 3. Supposons que $A$ est fermé et qu'il existe $c > 0$ telle que $\|Ax\| \geq c\|x\|$ pour tout $x \in \mathcal{D}(A)$, montrer que $\mathcal{R}(A)$ est fermé. 4. Supposons $A$ densément défini et $B \in B(\mathcal{H})$, montrer que $(BA)^* = A^* B^*$. 5. On suppose que $A$ est fermé, densément défini et posons $Q := I + A^* A$. Montrer que $Q$ est bijectif de $\mathcal{D}(A^* A)$ dans $\mathcal{H}$ et d'inverse borné.

Partie II

Soit $A \in B(\mathcal{H})$. On appelle l'inverse de Moore-Penrose de $A$, l'opérateur $A^+ \in B(\mathcal{H})$ vérifiant

$$A A^+ A = A, \quad A^+ A A^+ = A^+, \quad A A^+ = \left( A A^+ \right)^*, \quad A^+ A = \left( A^+ A \right)^*.$$

Notons que $A^+$ existe si et seulement si $R(A)$ est fermé, et dans ce cas $R(A^+) = R(A^*)$. On suppose que $A$ est à image fermée.

1. Montrer que $R(A A^* A)$ est fermé et $(A A^* A)^+ = A^+ (A^*)^+ A^+$.
2. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $A$ normal ; (ii) $A A^+ = A^+ A$ et $A^* A^+ = A^+ A^*$.
3. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $A$ normal ; (ii) $(A A^* A)^+ A = A (A A^* A)^+$ ; (iii) $A^* (A + A^*) = (A + A^*) A^*$.
4. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $A^2 A^+ = A^+$ ; (ii) $A^2 = A^+ A$ ; (iii) $A A^+ = A^+ A^+$.

Partie III

1. Soient $A \in B(\mathcal{H})$ et $P$ la projection orthogonale de $\mathcal{H}$ sur un sous espace vectoriel fermé $M$ de $\mathcal{H}$. (a) Exprimer en fonction de $P$, la projection orthogonale de $\mathcal{H}$ sur $M^{\perp}$. (b) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i. $M$ est invariant par $A$ ; ii. $AP = PAP$. (c) En déduire que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : i. $M$ est invariant par $A$ ; ii. $M^{\perp}$ est invariant par $A^*$. (d) Montrer que les cinq propriétés suivantes sont équivalentes : i. $M$ est orthogonalement réduisant par $A$ ; ii. $M^{\perp}$ est orthogonalement réduisant par $A$ ; iii. $M$ est orthogonalement réduisant par $A^*$ ; iv. $M$ est orthogonalement réduisant par $A$ et $A^*$ ; v. $PA = AP$.

2. Soient $N \in \mathbb{N}^*$, $(\theta_1, \ldots, \theta_N) \subset \mathbb{R}$, $(\lambda_1, \ldots, \lambda_N) \subset \mathbb{C}$ et $(\psi_1, \ldots, \psi_N)$, $(\varphi_1, \ldots, \varphi_N)$ deux systèmes orthonormés de $\mathcal{H}$. On pose

$$U = \sum_{n=1}^{N} e^{i \theta_n}\, \psi_n \otimes \varphi_n, \qquad A = \sum_{n=1}^{N} \lambda_n\, \psi_n \otimes \varphi_n.$$

(a) Montrer que $U$ est une isométrie partielle de rang fini de $B(\mathcal{H})$. (b) Trouver l'espace initial et l'espace final de $U$. (c) Vérifier que $A$ est un opérateur de rang fini de $B(\mathcal{H})$. (d) Trouver la décomposition polaire de $A = V|A|$, en donnant explicitement l'isométrie partielle $V$ et le module de $A$, $|A|$.

Partie IV

1. Soient $X = C^0([0, 1])$, l'espace vectoriel des fonctions définies et continues sur $[0, 1]$, à valeurs complexes. Pour tout $x \in X$, et tout $s \in [0, 1]$, on définit :

$$(Ax)(s) = x(0) + \int_0^s t\, x(t)\, dt.$$

(a) Démontrer que $A$ est injectif. (b) Démontrer que $A$ n'est pas surjectif.

2. Soit $f \in X$, on considère l'équation intégrale

$$\int_0^s \frac{x(t)}{(s - t)^{\alpha}}\, dt = f(s), \quad 0 \leq s \leq 1, \quad 0 < \alpha < 1. \qquad (1)$$

(a) Démontrer que

$$\int_0^s x(t)\, dt = \frac{\sin \pi \alpha}{\pi} \int_0^s \frac{f(t)}{(s - t)^{1 - \alpha}}\, dt, \quad 0 < \alpha < 1.$$

(b) Déduire la solution $x$ de l'équation intégrale (1).

3. Résoudre l'équation intégrale suivante

$$x(s) = \int_0^s e^{s - t}\, x(t)\, dt + \sin(s), \quad 0 \leq s \leq 1. \qquad (2)$$