مسابقة دكتوراه 2018 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 01

2. Soit $(T_n)$ une suite d'endomorphismes continus d'un espace de Banach $E$ telle que pour tout $x \in E$, la suite $T_n(x)$ converge vers une limite notée $T(x)$.

• Montrer que $\sup_n \|T_n\|_{\mathcal{L}(E)} < +\infty$.
• En déduire que $T$ est continu de norme $\|T\|_{\mathcal{L}(E)} \le \liminf_n \|T_n\|_{\mathcal{L}(E)}$.

2. $v^* = \|u\|^2 Id_E - (u^*u)^* = \|u\|^2 Id_E - u^*u = v$ : autoadjoint. Pour $x \in E$ : $\langle vx, x \rangle = \|u\|^2 \|x\|^2 - \|u(x)\|^2 \ge 0$ car $\|u(x)\| \le \|u\| \|x\|$ : positif.

3. $x \in I(u) \iff \langle vx, x \rangle = 0$. Comme $v \ge 0$ autoadjoint, il admet une racine carrée autoadjointe $v^{1/2}$ et $\langle vx, x\rangle = \|v^{1/2}x\|^2 = 0 \iff v^{1/2}x = 0 \iff vx = 0$. Donc $I(u) = \ker v$.

4. Soient $x \in I(u)$ et $y \in \ker u$. De $vx = 0$ : $u^*u\,x = \|u\|^2 x$, donc ($u \ne 0$)

5. Soit $x \in I(u)$, $x \ne 0$. Alors $\|u^*(u(x))\| = \|u^*u\,x\| = \|u\|^2\|x\| = \|u^*\| \, \|u\| \|x\| = \|u^*\| \, \|u(x)\|$ (car $\|u^*\| = \|u\|$ et $\|u(x)\| = \|u\|\|x\|$). Donc $u(x) \in I(u^*)$.

2.a. Soit $a_n = \langle f, \phi_n \rangle$ ; par Parseval $\sum |a_n|^2 = \|f\|^2 < \infty$. Pour $p < q$, l'hypothèse donne $\| \sum_{n=p}^{q} a_n(\phi_n - f_n) \|^2 \le \theta^2 \sum_{n=p}^{q} |a_n|^2 \to 0$ : les sommes partielles sont de Cauchy dans $H$ complet, la série converge.

b. À la limite : $\|Kf\|^2 \le \theta^2 \sum |\langle f, \phi_n\rangle|^2 = \theta^2 \|f\|^2$, donc $\|Kf\| \le \theta\|f\|$.

c. $K$ est linéaire (linéarité des coefficients de Fourier), et b. montre $\|K\| \le \theta$. Comme $\|K^*\| = \|K\|$, on a aussi $\|K^*\| \le \theta$.

3. Inégalité triangulaire : $\|Tf\| = \|f - Kf\| \ge \|f\| - \|Kf\| \ge (1-\theta)\|f\|$ et $\|Tf\| \le \|f\| + \|Kf\| \le (1+\theta)\|f\|$. ($\|K\| \le \theta < 1$ justifie l'inversibilité par la série de Neumann.) En appliquant ces inégalités à $f = T^{-1}g$ : $(1-\theta)\|T^{-1}g\| \le \|g\| \le (1+\theta)\|T^{-1}g\|$.