مسابقة دكتوراه 2018 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 12

(7 pt) Soient $E$ et $F$ deux espaces de Hilbert réels et $u : E \longrightarrow F$ une application linéaire continue non nulle. L'adjoint de $u$ est $u^* : F \longrightarrow E$. On pose

$$I(u) = \{x \in E \ | \ \|u(x)\| = \|u\| \cdot \|x\|\}.$$

1. Montrer que $I(u)$ est fermé dans $E$.
2. On pose $v = \|u\|^2 Id_E - u^* u : E \longrightarrow E$. Montrer que est autoadjoint et positif.

(7 pt) Soient deux suites $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d'un espace de Hilbert $H$ vérifiant

$$\forall n \ne m, \ \langle f_n, g_m \rangle = 0, \quad \text{et} \quad \langle f_n, g_n \rangle = 1$$

et les deux suites sont complètes dans $H$, c'est-à-dire que le sous-espace engendré par les $f_n$ est dense dans $H$ ainsi que celui engendré par les $g_n$.

1. Supposons que pour un $f$ dans $H$ la série $\sum_{n=0}^{\infty} \langle f, g_n \rangle f_n$ est convergente. Montrer qu'alors

$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \langle f, g_n \rangle f_n.$$

2. Soient $(\phi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une base de Hilbert de $H$ et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de telles qu'il existe pour lequel

$$\left\|\sum a_n(\phi_n - f_n)\right\|^2 \le \theta^2 \sum |a_n|^2$$

pour toute suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres complexes ayant un nombre fini de termes non nuls. Montrer que : a- pour tout $f$ dans $H$, la série est convergente. b- la somme de cette série est de norme . c- l'opérateur est un opérateur linéaire continu de norme , et que son adjoint est de norme . 3. Soit l'opérateur inversible et son inverse . Pour tous dans , montrer que

$$(1-\theta)\|f\| \le \|Tf\| \le (1+\theta)\|f\|$$ $$(1-\theta)\|T^{-1}g\| \le \|g\| \le (1+\theta)\|T^{-1}g\|.$$