مسابقة دكتوراه 2025 — Université Chadli Bendjedid - El Tarf — الموضوع 03

Soit $E = C^1([0,1])$ l'espace vectoriel (réel) des fonctions $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fois continûment dérivables.

1. Montrer que l'application $f \to \|f\|$ suivante est une norme sur $E$ :

2. Montrer que $\|\cdot\|$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_\infty$ de la convergence uniforme sur $[0,1]$.

Soit $E$ un espace normé réel, $\mathcal{F}$ une collection d'endomorphismes continus de $E$ commutant deux à deux, et $p : E \to \mathbb{R}$ une semi-norme $\mathcal{F}$-invariante. On se donne $G$ un sous-espace de $E$, stable par tous les éléments de $\mathcal{F}$, et $\ell$ une forme linéaire sur $G$, qui est de plus $\mathcal{F}$-invariante, et telle que $\forall x \in G$, $\ell(x) \leq p(x)$. On veut prolonger $\ell$ à $E$ tout entier, avec les mêmes propriétés.

1. On note $C$ l'enveloppe convexe du semi-groupe engendré par $\mathcal{F}$ dans $L(E)$, i.e. l'enveloppe convexe de l'ensemble formé de l'identité et des produits finis d'éléments de $\mathcal{F}$. Pour $x \in E$, on pose :

Montrer qu'on définit bien ainsi une semi-norme, et que de plus $q \leq p$, et $\forall x \in G$, $\ell(x) \leq q(x)$.

2. Appliquer le théorème de Hahn-Banach à $\ell$ et $q$, et conclure.

Indication : pour montrer que le prolongement obtenu est bien $\mathcal{F}$-invariant, on pourra montrer que pour tout $u \in \mathcal{F}$ et tout $x \in E$, $q(x - u(x)) \leq 0$.