مسابقة دكتوراه 2025 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 03

On considère le modèle de régression

$$Y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i, \quad i = 1, \dots, n, \tag{1}$$

où $x_1, \dots, x_n$ sont fixés et $\epsilon_1, \dots, \epsilon_n$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi $N(0, \sigma^2)$.

I.

1. Démontrer que les estimateurs des moindres carrés pour $\alpha$ et $\beta$ sont les estimateurs du maximum de vraisemblance.
2. Donner la densité de $Y_i$.
3. Supposons par simplicité que $\alpha$ est connu. Calculer l'estimateur des moindres carrés de $\beta$ et sa variance.
4. Donner $g_\beta(y_1, \dots, y_n)$, la densité conjointe de $(Y_1, \dots, Y_n)$.
5. Calculer l'information de Fisher $\tilde{J}(\beta)$ par rapport à $g_\beta(y_1, \dots, y_n)$.
6. Conclure en utilisant la borne de Cramér-Rao.

II. On considère le modèle linéaire simple défini par (1) où $V(\epsilon_i) = \sigma^2 z_i^2$, avec $z_i$ est connu et strictement positif.

1. Estimer les paramètres du modèle.
2. Trouver la loi des estimateurs de ces paramètres.