مسابقة دكتوراه 2022 — جامعة بجاية — الموضوع 01

Exercice 1. (6.5 points)

Soit $A$ une matrice $2 \times 2$ à coefficients réels. On suppose que dans chaque colonne de $A$ la somme des coefficients est égale à 1.

1. Soient $(x_1, x_2), (y_1, y_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$, on suppose que

$$A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}.$$

Montrer que $y_1 + y_2 = x_1 + x_2$. 2. Soit le vecteur $\varepsilon = (1, -1)$, montrer que c'est un vecteur propre de $A$. On notera $\lambda$ sa valeur propre. 3. Montrer que si $v$ est un vecteur propre de $A$ non colinéaire à $\varepsilon$, alors la valeur propre associée à $v$ est égale à 1. 4. Soit $e_1 = (1, 0)$. Montrer que la matrice, dans la base $(e_1, \varepsilon)$, de l'endomorphisme associé à $A$ est de la forme

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & \lambda \end{pmatrix},$$

où $\alpha \in \mathbb{R}$. En déduire que si $\lambda \neq 1$, alors $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2. (5 points)

On considère une suite de variables aléatoires réelles indépendantes $(X_n)_{n \ge 1}$ définies sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ de même loi de densité

$$f(x) = (\alpha + 1) x^\alpha, \quad 0 < x < 1,\ \alpha > 0.$$

On pose $I_n = \inf_{1 \le i \le n} X_i$.

1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $n^\lambda I_n$, $\lambda \in \mathbb{R}^+$.
2. Étudier, en fonction de $\lambda \in \mathbb{R}^+$, la convergence en loi de la suite $(n^\lambda I_n)$.

Exercice 3. (8.5 points)

Soit $(X, \mathcal{T}_X)$ un espace topologique de Hausdorff (séparé) non compact. On suppose que chaque point de $X$ possède un voisinage compact. Soit l'ensemble $X^\infty = X \cup \{\infty\}$, où $\infty$ est un symbole qui n'est pas un élément de $X$.

(ملاحظة: بقية التمرين غير متوفرة — الصفحة 2/2 مفقودة.)