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مسابقة دكتوراه 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 1سا

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Épreuve Écrite du Concours d'Accès en 3ème Cycle LMD — Option : Modélisation, Simulation et Calculs Scientifiques Appliqués — Épreuve 2 : Méthodes des éléments finis, Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem, Faculté des Sciences et de la Technologie — Mardi 22 Octobre 2013 (Durée 1 Heure 30 Minutes).

التمرين 1

Exercice 1 — Formulation variationnelle et éléments finis

#variational-formulation#finite-elements#stiffness-matrix#neumann-bc

On considère le problème suivant

(1){−d2u(x)dx2=f(x)sur ]a,b[dudx(a)=dudx(b)=0.(1) \begin{cases} -\frac{d^2 u(x)}{dx^2} = f(x) \quad \text{sur } ]a, b[ \\\\ \frac{du}{dx}(a) = \frac{du}{dx}(b) = 0. \end{cases}
  1. Établir une formulation variationnelle du problème (1), en utilisant la fonction test v(x)v(x).
  2. Établir un découpage du domaine Ω=[a,b]\Omega = [a, b] en mm sous-domaines élémentaires Ωi\Omega_i.
  3. Discrétiser la forme variationnelle obtenue sur une base de fonctions de forme (Ni(x))i=1..m(N_i(x))_{i=1..m}.
  4. Donner la forme de la matrice de rigidité (Kij)i,j=1..m(K_{ij})_{i,j=1..m} et le second membre (Fj)j=1..m(F_j)_{j=1..m}.
  5. Écrire le problème sous forme matricielle.
  6. On déduit l'expression de la solution approchée du problème (1).
◀الحل

1.

Multiplier par v∈H1v \in H^1 et intégrer par parties : ∫abu′v′ dx=∫abfv dx\int_a^b u'v' \, dx = \int_a^b fv \, dx (les termes de bord s'annulent par les conditions de Neumann).

2.

Ωi=[xi−1,xi]\Omega_i = [x_{i-1}, x_i] avec xi=a+ihx_i = a + ih, h=(b−a)/mh = (b-a)/m.

3.

uh(x)=∑i=1muiNi(x)u_h(x) = \sum_{i=1}^m u_i N_i(x) avec NiN_i les fonctions chapeaux P1.

4.

Kij=∫abNi′Nj′ dxK_{ij} = \int_a^b N_i' N_j' \, dx, Fj=∫abfNj dxF_j = \int_a^b f N_j \, dx. KK est tridiagonale : Kii=2/hK_{ii} = 2/h, Ki,i±1=−1/hK_{i,i\pm 1} = -1/h.

5.

KU=FKU = F avec U=(u1,…,um)TU = (u_1, \ldots, u_m)^T.

6.

U=K−1FU = K^{-1}F (à une constante additive près car le problème de Neumann pur a une solution à une constante près).

KU=F avec K tridiagonale\boxed{KU = F \text{ avec } K \text{ tridiagonale}}

التمرين 2

Exercice 2 — Polynôme minimal, valeurs propres et propriétés matricielles

#minimal-polynomial#eigenvalues#matrix-rank#orthogonal-matrix

Soit la matrice suivante

M=(5100249009)M = \begin{pmatrix} 5 & 10 & 0 \\\\ 2 & 4 & 9 \\\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}
  1. Donner le polynôme minimal de MM, ensuite, trouver les valeurs propres et vecteurs propres.
  2. Donner le rang de la matrice MM, justifier.
  3. Dire si MM est inversible sans calculer le déterminant.
  4. Est-ce que la matrice MM est orthogonale, justifier.
◀الحل

1.

Polynôme caractéristique : det⁡(M−λI)=(9−λ)[(5−λ)(4−λ)−20]=(9−λ)(λ2−9λ)=λ(9−λ)(λ−9)=λ(9−λ)2\det(M - \lambda I) = (9 - \lambda)[(5-\lambda)(4-\lambda) - 20] = (9-\lambda)(\lambda^2 - 9\lambda) = \lambda(9-\lambda)(\lambda - 9) = \lambda(9-\lambda)^2. Valeurs propres : λ1=0\lambda_1 = 0, λ2=9\lambda_2 = 9 (double). Polynôme minimal : μ(λ)=λ(λ−9)\mu(\lambda) = \lambda(\lambda - 9) ou λ(λ−9)2\lambda(\lambda-9)^2 selon la diagonalisabilité.

2.

λ=0\lambda = 0 est valeur propre, donc rang(M)<3\text{rang}(M) \lt 3. Les lignes 1 et 2 ne sont pas proportionnelles, donc rang(M)=2\text{rang}(M) = 2.

3.

λ=0\lambda = 0 est valeur propre, donc det⁡(M)=0\det(M) = 0 et MM n'est pas inversible.

4.

MM n'est pas orthogonale car MM n'est pas inversible (une matrice orthogonale vérifie MTM=IM^T M = I).

M n’est pas inversible, rang 2, non orthogonale\boxed{M \text{ n'est pas inversible, rang } 2, \text{ non orthogonale}}

التمرين 3

Exercice 3 — Décomposition LU d'une matrice

#lu-decomposition#linear-system#matrix-factorization
  1. Réaliser la décomposition LU de la matrice
A=(−11−301138−22−5−131813)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 & 8 \\\\ -2 & 2 & -5 & -1 \\\\ 3 & 1 & 8 & 13 \end{pmatrix}
  1. En déduire la solution du système linéaire Ax=bAx = b avec b=(0,2,−1,5)Tb = (0, 2, -1, 5)^T.
  2. Sans calculer A2A^2, résoudre le système linéaire A2x=bA^2 x = b.
◀الحل

1.

On effectue l'élimination de Gauss pour obtenir A=LUA = LU avec LL triangulaire inférieure (multiplicateurs) et UU triangulaire supérieure.

2.

On résout Ly=bLy = b (descente) puis Ux=yUx = y (remontée).

3.

A2x=b⇔A(Ax)=bA^2 x = b \Leftrightarrow A(Ax) = b. On pose z=Axz = Ax, on résout Az=bAz = b pour trouver zz, puis Ax=zAx = z pour trouver xx. Deux résolutions successives avec la même décomposition LU.

Deux reˊsolutions successives avec la deˊcomposition LU\boxed{\text{Deux résolutions successives avec la décomposition LU}}
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