مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri

التمرين 1

La norme p sur l'espace de suites ℓp

#ℓp#norme#espace vectoriel

Soit

\ell^p=\left\{x=(x_1,x_2,\dots):\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p<+\infty,\ p\ge1\right\}.

Montrer que

\|x\|=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p\right)^{1/p}

est une norme sur $\ell^p$ .

◀الحل

التمرين 1

Point de bifurcation de S(λ,u)=u''+λu par Lyapunov-Schmidt

#bifurcation#lyapunov-schmidt#fredholm-alternative#boundary-value-problem#crandall-rabinowitz

Soit $S$ la fonction définie par $S(\lambda,u)(t)=u''(t)+\lambda u(t),\qquad (\lambda,u)\in\mathbb{R}\times C^2_0([0,T],\mathbb{R}),$ où $C^2_0([0,T],\mathbb{R})=\{u\in C^2([0,T],\mathbb{R}):u(0)=u(T)=0\}$ .

Montrer que $C^2_0([0,T],\mathbb{R})$ est fermé dans $C^2([0,T],\mathbb{R})$ .
Montrer que $S(\lambda,\cdot)$ est différentiable et déterminer $\partial_u S(\lambda,0)\phi$ , $\phi\in C^2_0([0,T],\mathbb{R})$ .
Déterminer $\ker(\partial_u S(\lambda,0))$ et calculer $\dim\ker(\partial_u S(\lambda,0))$ .
Pour $\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{T}\right)^2$ , $n\in\mathbb{N}^*$ , montrer qu'il existe $\phi_n\in C^2([0,T],\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{Im}(\partial_u S(\lambda_n,0))\subset\Big\{\psi\in C([0,T],\mathbb{R}):\int_0^T\psi(s)\phi_n(s)\,ds=0\Big\}=:Y.$ Montrer que si $\psi\in Y$ , alors $\phi(t)=\lambda_n^{-1}\phi_n(t)\int_0^t\psi(s)\phi_n(s)\,ds+\lambda_n^{-1}\phi_n'(t)\int_t^T\psi(s)\phi_n(s)\,ds$ satisfait $\partial_u S(\lambda_n,0)\phi=\psi$ . Qu'en déduire ?
Montrer que pour tout $\phi\in C([0,T],\mathbb{R})$ , on a $\phi=\psi+\alpha\phi_n$ avec $\psi\in\mathrm{Im}(\partial_u S(\lambda_n,0))$ si et seulement si $\alpha=\dfrac{\int_0^T\phi(s)\phi_n(s)\,ds}{\int_0^T\phi_n^2(s)\,ds}$ et $\psi=\phi-\alpha\phi_n$ . Qu'en déduire ?
Montrer que $\partial^2_{\lambda u}S(\lambda_n,0)\phi_n\notin\mathrm{Im}(\partial_u S(\lambda_n,0))$ .
Montrer que $(\lambda_n,0)$ est un point de bifurcation.

◀الحل

1.

$C^2_0=\ker\Lambda$ où $\Lambda:u\mapsto(u(0),u(T))$ est linéaire continue de $C^2([0,T])$ dans $\mathbb{R}^2$ (les évaluations sont continues pour $\|\cdot\|_{C^2}$ ). Un noyau d'application continue est fermé.

2.

$S(\lambda,\cdot)$ est linéaire en $u$ , donc différentiable, de différentielle égale à elle-même : $\partial_u S(\lambda,0)\phi=\phi''+\lambda\phi.$

3.

$\ker(\partial_u S(\lambda,0))$ : résoudre $\phi''+\lambda\phi=0$ , $\phi(0)=\phi(T)=0$ . Solution non triviale seulement si $\lambda=\left(\frac{n\pi}{T}\right)^2$ , avec $\phi_n(t)=\sin\!\Big(\frac{n\pi t}{T}\Big).$ Alors $\dim\ker=1$ ; sinon $\ker=\{0\}$ ( $\dim 0$ ).

4.

L'opérateur $L=\partial_u S(\lambda_n,0)=\frac{d^2}{dt^2}+\lambda_n$ avec conditions de Dirichlet est auto-adjoint pour le produit scalaire $L^2$ . Par l'alternative de Fredholm, $L\phi=\psi$ est résoluble si et seulement si $\psi\perp\ker L=\mathrm{vect}(\phi_n)$ , i.e. $\int_0^T\psi\phi_n=0$ . D'où $\mathrm{Im}(L)\subset Y$ . La formule de type Green proposée fournit explicitement une solution $\phi$ vérifiant $L\phi=\psi$ lorsque $\psi\in Y$ . On en déduit $\mathrm{Im}(L)=Y=\phi_n^{\perp}$ , de codimension $1$ .

5.

$C([0,T])=\mathrm{Im}(L)\oplus\mathrm{vect}(\phi_n)$ (somme directe orthogonale dans $L^2$ ). Projeter $\phi$ : la composante sur $\phi_n$ est $\alpha=\frac{\langle\phi,\phi_n\rangle}{\langle\phi_n,\phi_n\rangle}=\frac{\int_0^T\phi\phi_n}{\int_0^T\phi_n^2},\qquad \psi=\phi-\alpha\phi_n\in Y=\mathrm{Im}(L).$ On en déduit que $\mathrm{coker}(L)$ est de dimension $1$ , engendré par $\phi_n$ .

6.

$\partial^2_{\lambda u}S(\lambda,0)\phi=\partial_\lambda(\phi''+\lambda\phi)=\phi$ . Donc $\partial^2_{\lambda u}S(\lambda_n,0)\phi_n=\phi_n$ . Or $\int_0^T\phi_n\cdot\phi_n=\int_0^T\phi_n^2>0\neq0$ , donc $\phi_n\notin\phi_n^{\perp}=\mathrm{Im}(L)$ .

7.

On a $\dim\ker L=\mathrm{codim}\,\mathrm{Im}\,L=1$ (valeur propre simple) et la condition de transversalité $\partial^2_{\lambda u}S(\lambda_n,0)\phi_n\notin\mathrm{Im}(L)$ . Le théorème de Crandall-Rabinowitz s'applique : $\boxed{(\lambda_n,0)\text{ est un point de bifurcation.}}$

التمرين 2

Convergence en norme d'opérateurs et convergence uniforme sur les bornés

#opérateurs bornés#convergence en norme#parties bornées

Soient $X,Y$ deux espaces normés, $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'opérateurs linéaires bornés de $X$ dans $Y$ et $A\in\mathcal{L}(X,Y)$ . Montrer que si $A_n$ converge en norme vers $A$ , alors $A_nx$ converge vers $Ax$ uniformément sur les parties bornées de $X$ .

◀الحل

Si $\|A_n-A\|\to0$ , alors pour tout ensemble borné $B\subset X$ de rayon $M$ , on a

\sup_{x\in B}\|A_nx-Ax\|\le\sup_{x\in B}\|A_n-A\|\,\|x\|\le M\|A_n-A\|\to0.

Donc la convergence est uniforme sur toute partie bornée.

التمرين 3

Graphe fermé d'une application continue et réciproque fausse

#graphe fermé#continuité#contre-exemple

Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques, avec $F$ séparé, et $f:E\to F$ . On note

\Gamma=\{(x,f(x)):x\in E\}\subset E\times F

le graphe de $f$ .

Montrer que si $f$ est continue alors $\Gamma$ est fermé.
Montrer que la réciproque est fausse en prenant $E=\mathbb{R}$ et

f(x)=\begin{cases}\frac1x,&x\ne0,\\0,&x=0.\end{cases}

◀الحل

Si $(x_n,f(x_n))\to(x,y)$ dans $E\times F$ , la continuité de $f$ donne $f(x_n)\to f(x)$ ; comme $F$ est séparé, la limite est unique, donc $y=f(x)$ et $(x,y)\in\Gamma$ . Le graphe est fermé. 2. Pour $f(x)=1/x$ si $x\ne0$ , $f(0)=0$ , le graphe est fermé dans $\mathbb{R}^2$ mais $f$ n'est pas continue en $0$ . Donc la réciproque est fausse.

التمرين 4

Semi-groupe uniformément continu engendré par un opérateur borné

#semi-groupe#opérateur borné#exponentielle

Soit $E$ un espace de Banach et $A$ un opérateur linéaire borné sur $E$ . Montrer que la famille $(e^{tA})_{t\ge0}$ est un semi-groupe uniformément continu sur $E$ .

◀الحل

On définit

e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^nA^n}{n!},

série absolument convergente dans $\mathcal{L}(E)$ car $A$ est borné. On a $e^{(t+s)A}=e^{tA}e^{sA}$ par produit de Cauchy, et $e^{0A}=I$ . De plus,

\|e^{tA}-I\|\le\sum_{n\ge1}\frac{t^n\|A\|^n}{n!}=e^{t\|A\|}-1\xrightarrow[t\to0]{}0,

donc le semi-groupe est uniformément continu.