مسابقة دكتوراه 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 02

Exercice 1. (8 points)

On considère le problème suivant :

$$\begin{cases} -\dfrac{d^2u(x)}{dx^2}=f(x), & \text{sur } ]0,1[,\\ u(0)=0,\\ \dfrac{du}{dx}(1)=0. \end{cases}$$

On suppose que ce problème a une solution dans $H^2(]0,1[)$ et $f\in L^2(]0,1[)$.

1. Établir une formulation variationnelle du problème, en donnant le sous-espace $V$ approprié.
2. Montrer que cette formulation variationnelle a une unique solution.

Exercice 2. (6 points)

On considère le problème différentiel

$$(1)\quad \begin{cases} y''(t)=f(t,y(t),y'(t)), & t\in ]a,b[,\\ y(a)=\alpha\quad \text{et}\quad y(b)=\beta. \end{cases}$$

On divise $[a,b]$ en $m$ intervalles de longueur $h$.

1. Montrer que le problème (1) se transforme en

$$(2)\quad \begin{cases} y_{n+1}=\Phi(y_n,y_{n-1})+h^2f_n,\\ y_0=\alpha\quad \text{et}\quad y_m=\beta, \end{cases}$$

avec $n=1,\ldots,m-1$ et $f_n=f(t_n,y_n,y_n')$. Donner $\Phi$. 2. Écrire (2) sous forme matricielle pour $n=1,\ldots,m-1$.

Exercice 3. (6 points)

On considère la matrice $M$ de taille $N_1\times N_2$ suivante :

$$M=\begin{pmatrix} M_{1,1}&M_{1,2}&M_{1,3}&\cdots&M_{1,N_2}\\ M_{2,1}&M_{2,2}&M_{2,3}&\cdots&M_{2,N_2}\\ M_{3,1}&M_{3,2}&M_{3,3}&\cdots&M_{3,N_2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ M_{N_1,1}&M_{N_1,2}&M_{N_1,3}&\cdots&M_{N_1,N_2} \end{pmatrix}.$$

Écrire un programme (en Matlab) pour transformer cette matrice en un vecteur $V$ de dimension $p=N_1N_2$ de la forme

$$V=(M_{1,1}\ M_{1,2}\ \cdots\ M_{1,N_2}\ M_{2,1}\ M_{2,2}\ \cdots\ M_{2,N_2}\ \cdots\ M_{N_1,1}\ M_{N_1,2}\ \cdots\ M_{N_1,N_2})^T.$$