مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 02

Étudier la continuité et la différentiabilité à l'origine de $f(x,y)=x^n\sin(1/(x^2+y^2))$ prolongée par $f(0,0)=0$; calculer les dérivées partielles et le plan tangent dans les cas indiqués.

Pour une suite $(x_n)$ de $\mathbb R^p$, poser $A_k=\{x_n:n\ge k\}$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence est $V=\bigcap_{k\ge1}\overline{A_k}$ et que, si la suite est bornée, $V$ est compact.

Dans un espace de Hilbert, établir l'existence de l'adjoint $A^*$ d'un endomorphisme continu et montrer que $A^*$ est continu.