مسابقة دكتوراه 2015 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 01

Partie 1 (10 points)

Considérons l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ muni de sa norme euclidienne.

Rappelons qu'un ensemble $\Omega$ est dit convexe dans $\mathbb{R}^n$, si pour tout $x, y \in \Omega$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$ :

$$(1-\lambda)x + \lambda y \in \Omega.$$

Une fonction $f : \Omega \to \mathbb{R}$ est dite quasiconvexe si pour tout $x, y \in \Omega$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$ :

$$f((1-\lambda)x + \lambda y) \le \max(f(x), f(y)).$$

1. (06 points) Montrer que $f$ est quasiconvexe si et seulement si l'ensemble

$$A_a = \{ x \in \Omega : f(x) \le a \}$$

est convexe pour tout $a \in \mathbb{R}$. 2. (02 points) Pour $n = 1$, donner un exemple de fonction quasiconvexe. Justifier graphiquement votre réponse. 3. (02 points) Vérifier à l'aide d'une interprétation graphique, qu'une fonction quasiconvexe peut avoir un point de discontinuité à l'intérieur de son domaine.

Partie 2 (10 points)

Soit $\varphi$ une application continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et $f, g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définies par

$$f(x,y) = \int_{x}^{x+y} \varphi(t)\,dt \quad \text{et} \quad g(x,y) = \int_{x}^{xy} \varphi(t)\,dt.$$

1. (03 points) Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.
2. (04 points) Notons par $Df(x,y)$ et $Dg(x,y)$ la différentielle de $f$ et $g$ au point $(x,y)$ respectivement. Calculer

$$Df(x,y)(h,k) \quad \text{et} \quad Dg(x,y)(h,k) \quad \text{pour tout } (h,k) \in \mathbb{R}^2.$$

3. (03 points) On définit

$$F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \qquad (x,y) \mapsto F(x,y) = (f(x,y), g(x,y)).$$

On note $B = ]-1,1[ \times ]-1,1[$ et on munit $\mathbb{R}^2$ de la norme $\|\cdot\|_\infty$. Montrer que $F$ est lipschitzienne sur $B$.

Indication : Vous pouvez utiliser le théorème des Accroissements Finis ci-dessous.

Théorème (Accroissements Finis). Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ une fonction différentiable sur un ouvert convexe $U$. On suppose qu'il existe $M > 0$ tel que $\|Df(u)\| \le M$ quel que soit $u \in U$. Alors $\|f(x) - f(y)\|_{\mathbb{R}^m} \le M \|x - y\|_{\mathbb{R}^n}$ quels que soient $x, y \in U$.

ملاحظة: نص هذا الموضوع منسوخ من ملف DOCX تعرّضت فيه بعض الرموز الرياضية للتشويه، وتمت إعادة بنائها بأفضل قراءة ممكنة.