مسابقة دكتوراه 2015 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 02

Partie 1 (06 points)

Soit $\{e_1, \ldots, e_n\}$ une base d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $n$ muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$, et soit $n$ nombres réels $a_1, \ldots, a_n$.

1. (02 points) Montrer que l'application $f$ de $E$ dans $\mathbb{R}^n$ définie par

$$f(x) = (\langle x, e_1 \rangle, \cdots, \langle x, e_n \rangle)$$

pour $x \in E$ est linéaire. 2. (04 points) En déduire qu'il existe un unique $x \in E$ tel que

$$\langle x, e_i \rangle = a_i \quad \text{pour } i = 1, \cdots, n.$$

Partie 2 (14 points)

Pour $n$ entier $\ge 1$, soit $\mathbb{R}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré $\le n$. Pour $P$ et $Q \in \mathbb{R}_n[X]$, on pose

$$\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(x)\,Q(x)\,dx.$$

Notant de manière générale $f^{(k)}$ la dérivée d'ordre $k$ d'une fonction $f$, $k$ fois dérivable. Pour $p = 0, 1, \cdots, n$, on pose

$$L_p = \left( (X^2 - 1)^p \right)^{(p)}$$

(la dérivée d'ordre $p$ du polynôme $(X^2-1)^p$).

1. (02,50 points) Montrer que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$. La norme associée est alors notée $\|\cdot\|$.
2. (02,50 points) Montrer que $L_p$ est un polynôme dont on donnera le degré et l'expression du terme de plus haut degré. En déduire que

$$Vect\{L_0\} = Vect\{1\} \quad \text{pour } p = 0$$

et que

$$Vect\{L_0, L_1, \cdots, L_p\} = Vect\{1, X, \cdots, X^p\} \quad \text{pour } p = 1, \cdots, n.$$

($Vect$ : enveloppe linéaire ou ensemble des combinaisons linéaires). 3. (02 points) Pour $p$ entier avec $1 \le p \le n$, soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$. Montrer que pour $k = 0, \cdots, p$ quelconque on a

$$\langle L_p, P \rangle = (-1)^k \int_{-1}^{1} \left( (x^2-1)^p \right)^{(p-k)} P^{(k)}(x)\,dx.$$

4. (03 points) En déduire que

$$\left\{ \frac{L_0}{\|L_0\|}, \frac{L_1}{\|L_1\|}, \cdots, \frac{L_p}{\|L_p\|} \right\}$$

est la base orthonormale de $\mathbb{R}_n[X]$ pour le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ obtenue à partir de la base canonique $\{1, X, \cdots, X^p\}$ par la méthode de Gram-Schmidt. 5. (04 points) Pour $p = 0, \ldots, n$ on note

$$I_p = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^p\,dx.$$

• (a) (02 points) Montrer pour $p \ge 1$ que $(2p+1) I_p = 2p\,I_{p-1}$.
• (b) (01 point) En déduire la valeur de $I_p$ pour $p = 0, \ldots, n$.
• (c) (01 point) Pour $p = 0, \ldots, n$, déterminer la valeur de $\|L_p\|$.