مسابقة دكتوراه 2015 — جامعة جيلالي اليابس - سيدي بلعباس — الموضوع 02

Exercice 1

Soit $m \in \mathbb{N}$. On note $S^m$ l'ensemble des fonctions $\varphi(x, \xi) \in C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$ telles que, pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n$, il existe une constante $C_{\alpha,\beta}$ pour laquelle

$$|\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta \varphi(x,\xi)| \le C_{\alpha,\beta}(1 + |\xi|)^{m - |\alpha|} \quad \text{pour tout } x, \xi \in \mathbb{R}^n.$$

Vérifier que :

• a) Si $p_1 \in S^{m_1}$ et $p_2 \in S^{m_2}$ alors $p_1 p_2 \in S^{m_1 + m_2}$.
• b) Si $p \in S^m$ alors $\partial_x^\alpha \partial_\xi^\beta p \in S^{m - |\beta|}$.
• c) Si $p \in S^m$ et $\phi \in S^{m'}$ alors $p(x,\xi)\,\phi(x,\xi) \in S^{m + m'}$.
• d) Si $p_1 \in S^m$ elliptique et $p_2 \in S^{m'}$ pour certain $m > 0$, alors $p_1 + p_2 \in S^m$ elliptique.

Exercice 2

Soit $p(x,\xi) = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\xi^\alpha$ un polynôme d'ordre $m \in \mathbb{N}$ et telle que $a_\alpha \in C_b^\infty(\mathbb{R}^n)$.

• a) Montrer que $p \in S^m$.
• b) Déterminer l'opérateur pseudo-différentiel $p(x,D)$ associé à $p(x,\xi)$.
• c) Montrer que

$$p(x,D) : S \to S, \quad f \mapsto p(x,D)f$$

est linéaire bornée.

Exercice 3

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert borné de classe $C^2$ dont la frontière est notée $\partial\Omega$. Étant donné $g \in L^2(\Omega)$, on considère le problème suivant :

$$\begin{cases} u_t - \Delta u = 0 & x \in \Omega,\ t \in (0,T), \\ u(x,0) = g(x) & x \in \Omega, \\ u(\sigma, t) = 0 & \sigma \in \partial\Omega,\ t \in (0,T). \end{cases}$$

• a) Trouver une formulation variationnelle du problème ci-dessus. Construire explicitement le système linéaire obtenu en appliquant la méthode de Galerkin au système variationnel précédent. Déterminer la solution approchée en résolvant le système obtenu. Déduire l'existence d'une solution pour tout $t > 0$ et donner son expression.
• b) Montrer que $\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)} \le \frac{1}{\sqrt{2et}}\|g\|_{L^2(\Omega)}$ pour tout $t > 0$.
• c) Si $g \in H_0^1(\Omega)$, montrer que $\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)} \le e^{-\lambda_1 t}\|\nabla g\|_{L^2(\Omega)}$ pour tout $t > 0$, où $\lambda_1$ est la première valeur propre du problème de Dirichlet de l'opérateur $-\Delta$.