مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

Un livre de 1500 pages contient 1000 erreurs réparties au hasard. On ouvre le livre à une page quelconque et on désigne par $X$ le nombre d'erreurs rencontrées dans cette page.

1. Donner la distribution de la variable aléatoire $X$ ainsi que ses paramètres.
2. Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X$ que l'on désigne par $E(X)$ et $\text{var}(X)$.
3. On se propose d'approximer la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi de Poisson. Est-ce légitime ? Dans l'affirmative, déterminer le paramètre de cette loi.
4. Calculer la probabilité de n'avoir aucune erreur.
5. Calculer la probabilité de rencontrer plus de deux erreurs.

Soit $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega, F, P)$ de densité $f_X(x) = \dfrac{1}{x^2}\mathbf{1}_{[1,+\infty)}$. Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi que $X$ et soient deux variables aléatoires $U$ et $V$ telles que $U = X_1 X_2$ et $V = X_1/X_2$.

1. Déterminer la densité du couple $(U, V)$ et tracer son domaine de définition.
2. Déterminer la densité de la variable aléatoire $U$ et celle de la variable aléatoire $V$.
3. Déterminer la densité conditionnelle de la variable aléatoire $V$ sachant $U = u$.
4. Dites si $U$ et $V$ sont des variables aléatoires indépendantes. Justifier.
5. On pose $Z = \sqrt{U}$, calculer la densité de la variable aléatoire $Z$.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi définie par la densité $f(x,\theta) = \theta x^{\theta-1}\mathbf{1}_{[0,1]}$, $\theta > 0$.

1. Déterminer par la méthode des moments, l'estimateur du paramètre $\theta$, au vu de l'échantillon $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ de $X$.
2. Déterminer par la méthode du maximum de vraisemblance, l'estimateur $T_{1/\theta}$ du paramètre $1/\theta$, au vu de l'échantillon $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ de $X$.
3. L'estimateur $T_{1/\theta}$ est-il sans biais ?
4. Si oui, est-il efficace ?

Soit la population des USA composée de 50 états. Un échantillon aléatoire de 5 états a fourni les superficies suivantes (en milliers de kilomètres (km) carrées) :

$$147 - 84 - 24 - 85 - 159$$

1. Trouver un intervalle de confiance à 95% pour la superficie moyenne de la population.
2. Déterminer l'intervalle de confiance à 95% pour la superficie totale des USA.
3. En fait, la superficie totale des USA est de 3 620 000 km carrées. Cette aire est-elle comprise dans l'intervalle de confiance ?