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مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques · المدة: 1سا 45د

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JSON import — Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou 2012 — Université Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou — Faculté des Sciences — Dept. Mathématiques — Ecole Doctorale Mathématiques — Epreuve de Systèmes dynamiques — Durée 1H30 — 12.12.12 — Source: 9-univ PDF page

التمرين 1

Ex1 — Indice à l'infini du système $\dot{x} = x-y$, $\dot{y} = x-y^2$

#systèmes dynamiques#indice de Poincaré

Calculer l'indice à l'infini du système :

dxdt=x−y,dydt=x−y2.\frac{dx}{dt} = x - y, \quad \frac{dy}{dt} = x - y^2.

التمرين 2

Ex2 — Solution périodique entourant l'origine

#systèmes dynamiques#cycles limites#théorème de Poincaré-Bendixson

Montrer que le système suivant possède au moins une solution périodique qui entoure l'origine (0,0)(0,0) :

{dxdt=y+14x(1−2r2)dydt=−x+12y(1−r2)ouˋ r2=x2+y2.\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = y + \dfrac{1}{4}x(1 - 2r^2) \\ \dfrac{dy}{dt} = -x + \dfrac{1}{2}y(1 - r^2) \end{cases} \quad \text{où } r^2 = x^2 + y^2.

التمرين 3

Ex3 — Système $\dot{x}_1 = -x_1$, $\dot{x}_2 = x_2 + x_1^2$

#systèmes dynamiques#ensemble invariant#flot

Soit le système x˙1=−x1\dot{x}_1 = -x_1, x˙2=x2+x12\dot{x}_2 = x_2 + x_1^2.

  1. Chercher la solution (x1(t)x2(t))\begin{pmatrix}x_1(t) \\ x_2(t)\end{pmatrix} telle que (x1(0)x2(0))=(c1c2)\begin{pmatrix}x_1(0) \\ x_2(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1 \\ c_2\end{pmatrix}.

  2. Montrer que l'ensemble S={(x1,x2)/x2=−x123}S = \{(x_1, x_2) / x_2 = -\frac{x_1^2}{3}\} est invariant par le flot ϕt\phi_t.

التمرين 4

Ex4 — Cycles limites du système $\dot{x} = -x+y^2$, $\dot{y} = y+x^2+yx^2$

#systèmes dynamiques#cycles limites

Soit le système :

dxdt=−x+y2,dydt=y+x2+yx2.\frac{dx}{dt} = -x + y^2, \quad \frac{dy}{dt} = y + x^2 + yx^2.

Etudier l'existence des cycles limites.

التمرين 5

Ex5 — Variétés centrale et stable de $\dot{x} = x^2 y - x^5$, $\dot{y} = -y + 2x^3$

#systèmes dynamiques#variété centrale#variété stable

Chercher les variétés centrale et stable au voisinage du point d'équilibre (0,0)(0,0) du système suivant et tracer les orbites :

{dxdt=x2y−x5dydt=−y+2x3\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x^2 y - x^5 \\ \dfrac{dy}{dt} = -y + 2x^3 \end{cases}
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