مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

Sur un espace probabilisé $(\Omega, F, P)$, on considère une variable aléatoire réelle $X$ et soit $\varphi$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}_+$. Montrer que pour tout $a > 0$ :

$$P(\varphi(X) \ge a) \le \frac{1}{a} E[\varphi(X)].$$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle symétrique de densité $f(x) = \dfrac{a}{2}\exp(-a|x|)$, pour $x \in \mathbb{R}$.

1. Calculer la fonction caractéristique de $X$.
2. En utilisant la formule d'inversion de Fourier : $\Psi_X(t) = \int e^{itx}f(x)dx \Rightarrow f(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\Psi_X(t)dt$, pour déduire la fonction caractéristique d'une variable aléatoire $Y$ suivant la loi de Cauchy de densité $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$, $x \in \mathbb{R}$.
3. Soient $X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de Cauchy. Montrer que $Z = \dfrac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$ suit une loi de Cauchy.

Voici la série, ordonnées dans l'ordre croissant, des 15 notes obtenues en mathématiques par un élève au cours du premier semestre :

$$4 \;|\; 6 \;|\; 6 \;|\; 9 \;|\; 11 \;|\; 11 \;|\; 12 \;|\; 13 \;|\; 13 \;|\; 13 \;|\; 14 \;|\; 15 \;|\; 17 \;|\; 18 \;|\; 18$$

1. Quelle est la fréquence de la note 13 ?
2. Quelle est la note moyenne ?
3. Quelle est la note médiane ?
4. Quelle est l'étendue de cette série de notes ?

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un $n$-échantillon de loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ inconnu.

1. Décrire la loi de $X_1$. Donner son espérance et sa variance.
2. Proposer un estimateur par la méthode des moments.
3. Proposer un estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance.