مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة أبو بكر بلقايد - تلمسان — الموضوع 01

Soit l'intégrale

$$I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt.$$

Le but de l'exercice est de montrer que $I = \pi/2$.

On considère pour tout $n \in \mathbb{N}$ les intégrales $K_n$ et $L_n$ définies par :

$$K_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{t}\,dt, \qquad L_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}\,dt.$$

1. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$, les intégrales $K_n$ et $L_n$ sont convergentes.

2. Montrer que la suite $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et que $\lim_{n \to +\infty} K_n = I$.

3. a. Montrer que l'application $f$ de $]0, \pi/2]$ dans $\mathbb{R}$ définie par

$$f(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{\sin t}$$

est prolongeable par continuité en $0$.

b. En déduire à l'aide du lemme de Riemann-Lebesgue que la suite $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et que $\lim_{n \to +\infty} L_n = I$.

4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in ]0, \pi/2]$ :

$$\sum_{k=-n}^{n} \cos(2kt) = \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}.$$

5. En déduire la valeur de $I$.

Soient $p > 0$ et $h : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ la fonction définie par :

$$h(X) = \|X\|^{-p}\,\chi_{B(0,1)}(X)$$

où $\chi_{B(0,1)}$ est la fonction caractéristique de la boule unité ouverte $B(0, 1)$ de $\mathbb{R}^3$.

Calculer l'intégrale de $h$ par rapport à la mesure de Lebesgue de deux manières différentes :

i. en utilisant les coordonnées sphériques et les méthodes standard de calcul d'intégrales,

ii. en calculant la mesure des ensembles $S_h(\alpha) = \{X \in \mathbb{R}^3 : h(X) > \alpha\}$ et la définition de l'intégrale de Lebesgue.

Soit l'espace de Hilbert

$$H = \left\{ f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R};\ \int_1^{+\infty} f^2(x)\,x^{-6}\,dx < +\infty \right\}.$$

On munit $H$ du produit scalaire

$$\langle f, g \rangle = \int_1^{+\infty} f(x)\,g(x)\,x^{-6}\,dx.$$

1. Montrer que $\mathbb{R}_2[X]$, espace des polynômes de degré $\le 2$, est contenu dans $H$.

2. On pose $e_n(x) = x^n$. Calculer $\langle e_n, e_m \rangle$ pour $n, m \in \{0, 1, 2\}$.

3. Soient $P_0(x) = 1$, $P_1(x) = 4x + a$, $P_2(x) = 3x^2 + bx + 10$. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le système $\{P_0, P_1, P_2\}$ soit orthogonal.

4. On pose $f(x) = 1/x$. Vérifier que $f \in H$. Déterminer la projection de $f$ sur $\mathbb{R}_2[X]$ et en déduire la distance de $f$ à $\mathbb{R}_2[X]$.