مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة أبو بكر بلقايد - تلمسان — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 3سا

JSON import — Université Aboubekr Belkaïd - Tlemcen 2018 — Université Aboubekr Belkaïd - Tlemcen — Faculté des Sciences - Tidjani Haddam — Concours d'accès à la formation de 3ème cycle LMD 2018/2019 — Samedi 20 octobre 2018 — Domaine : MI, Filière : Mathémati

التمرين 1

Partie 1 — Exercice 1 (processus de branchement)

#processus de branchement#probabilité d'extinction

Soit un processus de branchement (naissance et mort) de loi de reproduction binomiale $B(3, 1/2)$ . Déterminer sa probabilité d'extinction $\rho$ .

تحذير: الصفحة 1/2 باهتة جدًا — قراءة المعطيات $B(3, 1/2)$ مرجّحة وليست مؤكدة تمامًا.

التمرين 2

Partie 1 — Exercice 2 (estimation de densité) (10 pts)

#fonction de répartition empirique#estimation de densité#convergence en loi#risque quadratique

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un échantillon d'une loi de probabilité sur $\mathbb{R}$ de densité $f$ et de fonction de répartition $F$ . On note la fonction de répartition empirique par

F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{]-\infty, x]}(X_i), \quad x \in \mathbb{R}.

On définit un estimateur de $f(x)$ , $x \in \mathbb{R}$ par

f_n(x) = \frac{F_n(x + h_n) - F_n(x - h_n)}{2h_n},

où $h_n$ vérifie $\lim_{n \to \infty} h_n = 0$ et $\lim_{n \to \infty} n h_n = \infty$ .

1. Montrer que $f_n$ est une densité sur $\mathbb{R}$ .

2. Soit $f$ de classe $C^1$ . Quelle est la loi de la v.a. $2n h_n f_n(x)$ ?

Calculer un équivalent asymptotique (pour $n \to \infty$ ) de $E(f_n(x))$ et de $V(f_n(x))$ .

En déduire le risque quadratique (pour $n \to \infty$ ) :

E(f_n(x) - f(x))^2 = \frac{f(x)}{2n h_n} + o\left( \frac{1}{n h_n} \right) + O(h_n^2).

3. Si $f$ est $C^1$ et $\lim_n n h_n^3 = 0$ , montrer que

\sqrt{n h_n}\,(f_n(x) - f(x)) \Rightarrow_{n \to \infty} Z \sim \mathcal{N}\left( 0, \frac{f(x)}{2} \right).

4. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , $a, b \in \mathbb{R}$ , montrer que

\int_a^b f_n(x)\,dx \longrightarrow_{n \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx \quad \text{en probabilité}.

تحذير: المسح باهت — بعض الرموز (مثل $O(h_n^2)$ ومعامل $f(x)/2$ ) منقولة بالقراءة الأرجح.

التمرين 3

Partie 2 (10 points) — Mouvement brownien

#mouvement brownien#non-dérivabilité#inégalités gaussiennes#processus stochastiques

Soient $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace de probabilité, $B = \{B(t),\ t \ge 0\}$ un mouvement brownien standard et $c \in ]0, \sqrt{2}[$ . Pour $k, n \in \mathbb{N}$ , on pose

X_{k,n} = B\big((k+1)e^{-n}\big) - B\big(k e^{-n}\big), \qquad A_{k,n} = \left\{ X_{k,n} > c\sqrt{n}\, e^{-n/2} \right\}

B_n = \bigcap_{k=0}^{[e^n]-1} \overline{A}_{k,n}.

(1) Montrer que $1 - x \le e^{-x}$ , pour tout $x \ge 0$ .

(2) Donner la loi de $X_{k,n}$ .

(3) Montrer que

P(A_{k,n}) \ge \frac{c\sqrt{n}}{c^2 n + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{c^2 n}{2}}.

(4) En déduire que $P(B_n) \to 0$ quand $n \to \infty$ .

(5) Soit $0 < \epsilon < 1$ et posons

C = \left\{ |B(t + h) - B(t)| \le c\sqrt{h \log\left(\tfrac{1}{h}\right)},\ \forall h \in ]0, \epsilon[,\ \forall t \in ]0, 1 - h[ \right\}

(a) Montrer que $P(C) = 0$ .

(b) En déduire une propriété pour l'application

t \longrightarrow B(t + h) - B(t).

On rappelle que :

$\overline{A}$ désigne le complémentaire de $A$ ;
pour $x \in \mathbb{R}$ , $[x]$ désigne la partie entière de $x$ ;
pour tout $x \ge 0$ :

\int_x^{\infty} \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) du \ge \frac{x}{x^2 + 1} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right).

تحذير طفيف: الحد الأعلى للتقاطع $[e^n]-1$ منقول بالقراءة الأرجح (المسح غير حاد).

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