مسابقة دكتوراه 2018 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) de bord $\partial\Omega$ et soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée. Soit $f \in L^2(\Omega)$, on se propose de résoudre le problème non linéaire suivant :

$$\begin{cases} -\Delta u + g(u) = f & \text{dans } \Omega, \\ u = 0 & \text{sur } \partial\Omega. \end{cases} \qquad (1)$$

Une solution faible de $(1)$ est une fonction $u \in H_0^1(\Omega)$ vérifiant

$$\int_\Omega \big( \nabla u \cdot \nabla v + g(u)\,v \big)\,dx = \int_\Omega f v\,dx, \quad \forall v \in H_0^1(\Omega).$$

On considère la suite de fonctions $(u_n)_n$ définie par $u_0 = 0$ et pour $n \ge 1$ :

$$\begin{cases} -\Delta u_n + g(u_{n-1}) = f & \text{dans } \Omega, \\ u_n = 0 & \text{sur } \partial\Omega. \end{cases} \qquad (2)$$

1. Montrer que pour tout $n \ge 1$, le problème $(2)$ admet une unique solution faible $u_n \in H_0^1(\Omega)$.

2. Montrer que la suite $(u_n)_n$ admet une sous-suite (encore notée $(u_n)_n$) qui converge fortement dans $L^2(\Omega)$ et faiblement dans $H_0^1(\Omega)$ vers une limite $u$.

3. Montrer d'abord que $u$ est une solution faible du problème $(1)$ puis qu'elle vérifie les équations dans un sens à préciser. Est-ce que $u \in H^2(\Omega)$ ? Justifier votre réponse.

4. Étudier l'unicité de $u$ dans le cas où $g$ vérifie de plus l'une des hypothèses suivantes :

(4.1) $g$ est croissante,

(4.2) $g$ est $k$-lipschitzienne.

Dans ce dernier cas, on déterminera une condition sur $k$ pour assurer l'unicité de la solution.

Soit $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ l'espace de Schwartz des fonctions $\varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ telles que pour tous $k, l, m \in \mathbb{N}$, la fonction

$$(x, y) \in \mathbb{R}^2 \longmapsto (1 + x^2 + y^2)^m \frac{\partial^{k+l} \varphi}{\partial x^k \partial y^l}$$

est bornée et soit $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^2)$ l'espace des distributions tempérées sur $\mathbb{R}^2$, on note $\mathcal{F}$ la transformation de Fourier (dans $\mathbb{R}^N$, $N \ge 1$ : $\mathcal{F}(f)(\xi) = \int_{\mathbb{R}^N} e^{-i x \cdot \xi} f(x)\,dx$, où $x \cdot \xi = \sum_{j=1}^{N} x_j \xi_j$).

Pour $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$, on pose

$$(T, \varphi) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x, -x)\,dx.$$

1. Montrer que $T$ définit une distribution tempérée sur $\mathbb{R}^2$ puis donner sans calcul son support.

2. Calculer $\dfrac{\partial T}{\partial x} - \dfrac{\partial T}{\partial y}$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^2)$.

3. Trouver $P \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ telle que $P\,\mathcal{F}(T) = 0$. Que peut-on dire du support de $\mathcal{F}(T)$ ?

4. Montrer que pour $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$,

$$(\mathcal{F}(T), \varphi) = \lim_{\epsilon \to 0^+} I_\epsilon(\varphi) \quad \text{avec} \quad I_\epsilon(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} e^{-\epsilon t^2} \mathcal{F}(\varphi)(t, -t)\,dt.$$

5. Soit $\epsilon > 0$ et $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$, montrer que

$$I_\epsilon(\varphi) = C \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-y^2} \varphi\big(x,\ x - 2\sqrt{\epsilon}\,y\big)\,dx\,dy,$$

où $C > 0$ est une constante à déterminer.

On rappelle que $\mathcal{F}\big(e^{-a|x|^2}\big)(\xi) = \left( \dfrac{\pi}{a} \right)^{N/2} e^{-\frac{|\xi|^2}{4a}}$, $a > 0$, $|x|^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2$.

6. En déduire $\mathcal{F}(T)$ et son support.