مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة هواري بومدين للعلوم والتكنولوجيا — الموضوع 02

Soit $\Omega = ]0, 1[$ et $k \in C^1([0, 1])$ une fonction strictement positive. On pose $h = \dfrac{1}{k}$. Pour $f \in C^0([0, 1])$, on cherche à trouver toutes les fonctions $u \in C^2([0, 1])$ solution du problème au bord suivant :

$$\begin{cases} -\dfrac{d}{dx}\left( k(x) \dfrac{du}{dx} \right) = f(x) & \text{dans } \Omega, \\ u(0) = u(1) = 0. \end{cases} \qquad (1)$$

1. (unicité) Montrer que pour $f$ et $k$ fixées, si la solution de $(1)$ existe alors elle est unique.

2. (existence) Pour $(x, y) \in [0, 1] \times [0, 1]$, on définit la fonction suivante :

$$G(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\int_0^1 h} \left( \int_0^y h \right)\left( \int_x^1 h \right), & \text{si } y \le x, \\ \dfrac{1}{\int_0^1 h} \left( \int_0^x h \right)\left( \int_y^1 h \right), & \text{si } x \le y. \end{cases}$$

(a) Montrer que $G$ est continue, positive, symétrique sur $[0, 1] \times [0, 1]$ et qu'elle est de classe $C^1$ en dehors de la diagonale.

(b) Montrer que pour tout $f \in C^0([0, 1])$ la formule :

$$u(x) = \int_0^1 G(x, y) f(y)\,dy, \quad \forall x \in [0, 1]$$

définit bien une fonction de classe $C^2([0, 1])$ qui est solution du problème $(1)$.

3. (opérateur résolvant) On travaille à présent dans l'espace de Hilbert $H = L^2(\Omega)$, on définit alors l'opérateur $T : H \to H$

$$Tf(x) = \int_0^1 G(x, y) f(y)\,dy, \quad \forall f \in H,\ \forall x \in [0, 1].$$

(a) Montrer que $T$ est linéaire, auto-adjoint, compact et injectif.

(b) Montrer que $\operatorname{Im} T$ est constitué de fonctions continues sur $[0, 1]$, nulles en $x = 0$ et en $x = 1$.

(c) En déduire qu'il existe une suite $(\mu_n)_n$ de nombres strictement positifs, croissante, telle que $\lim \mu_n = +\infty$ et une suite $(e_n) \in C^2([0, 1])$ vérifiant :

$$-\frac{\partial}{\partial x}\left( k(x) \frac{\partial e_n}{\partial x} \right) = \mu_n e_n \quad \forall x \in ]0, 1[ \ \text{ et } \ e_n(0) = e_n(1) = 0.$$

4. Que peut-on dire de $(e_n)$ ?

5. On pose $k(x) = 1$, montrer alors

$$e_n(x) = \sqrt{2} \sin(n\pi x); \quad \mu_n = \pi^2 n^2.$$

On note $E = \mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne $\|\cdot\|_2$ et on considère l'application $f : E \to E$ définie pour tout $(x, y) \in E$ par :

$$f(x, y) = \frac{1}{2} \big( \sin(x + y), \cos(x - y) \big).$$

1. Déterminer la matrice Jacobienne de $f$ en $(x, y) \in E$, justifier le fait que $f \in C^1(E)$ et donner l'expression de sa différentielle.

2. Calculer $f\left( \frac{\pi}{4}, 0 \right)$ et montrer que $df_{(\frac{\pi}{4}, 0)} \in \operatorname{Isom}(E)$.

3. Montrer à l'aide du théorème d'inversion locale, qu'il existe $\epsilon > 0$ tel que pour tout $(a, b) \in E$ vérifiant :

$$\left\| \left( a - \frac{\sqrt{2}}{4},\ b - \frac{\sqrt{2}}{4} \right) \right\|_2 \le \epsilon$$

il existe $(x, y) \in E$ tel que $f(x, y) = (a, b)$.

4. Montrer que pour tout $(x, y) \in E$ et $(h, k) \in E$ on a :

$$\| df_{(x,y)}(h, k) \|_2^2 \le \frac{1}{2}(h^2 + k^2).$$

5. En déduire que l'équation $f(x, y) = (x, y)$ admet une unique solution.