مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 02

I) On munit $\mathbb{R}^3$ d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Pour $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$, on note $C_f$ l'arc paramétré

$$x = \frac{t^3}{6} + \frac{1}{2t}, \quad y = f(t), \quad z = t, \quad t \in ]0, +\infty[.$$

Déterminer les applications $f$ telles que la tangente en tout point de $C_f$ fait un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ avec la droite $(y'y)$.

II) Soient $a \in \mathbb{R}^*$, $S_1$, $S_2$ les surfaces d'équations :

$$S_1 : x^2 + y^2 - z^2 = a^2, \qquad S_2 : (x - 2a)^2 - y^2 + z^2 = a^2.$$

Déterminer $S_1 \cap S_2$ et montrer qu'en tout point de $S_1 \cap S_2$, les surfaces $S_1$ et $S_2$ sont tangentes (c'est-à-dire ont le même plan tangent).

Soient $(M, g)$ une variété Riemannienne de dimension 4, $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ une base orthonormée globale sur $(M, g)$ et $(\theta^1, \theta^2, \theta^3, \theta^4)$ la base duale correspondante. Considérons $X, Y$ deux champs de vecteurs sur $M$ et $J$ un tenseur de type $(1, 1)$ défini par :

$$J = \theta^1 \otimes e_2 - \theta^2 \otimes e_1 + \theta^3 \otimes e_4 - \theta^4 \otimes e_3,$$

c.à.d.,

$$JX = \theta^1(X)e_2 - \theta^2(X)e_1 + \theta^3(X)e_4 - \theta^4(X)e_3.$$

1) Calculer $J^2 X$.

2) (a) Montrer que $g(JX, JY) = g(X, Y)$. (b) Déduire que $g(JX, Y) + g(X, JY) = 0$.

3) Soit $\Omega$ la 2-forme différentielle sur $M$ définie par :

$$\Omega(X, Y) = g(X, JY).$$

Montrer que $\Omega = 2(\theta^2 \wedge \theta^1 + \theta^4 \wedge \theta^3)$.

4) Supposons qu'il existe une 1-forme différentielle $\eta$ sur $M$ telle que $d\eta = \Omega$ où $d$ représente la dérivée extérieure des formes. Posons :

$$\bar{g}(X, Y) = \alpha g(X, Y) + \eta(X)\eta(Y) + \eta(JX)\eta(JY),$$

où $\alpha$ est une fonction différentiable positive dans $M$.

(a) Prouver que $\bar{g}$ est une métrique Riemannienne.

(b) Montrer que $\bar{g}(JX, JY) = \bar{g}(X, Y)$.

(c) Sachant que $\bar{\Omega}(X, Y) = \bar{g}(X, JY)$, calculer $\bar{\Omega}$.

(d) Sachant que $\eta = \frac{1}{2} d\alpha \circ J$, calculer $d\bar{\Omega}$.

Soient $(M, g)$ une variété Riemannienne, et $b$ une 2-forme différentielle sur $M$. Montrer que :

$$\bar{g} = g - b \circ g^{-1} \circ b,$$

est une métrique Riemannienne sur $M$.