مسابقة دكتوراه 2018 — Université Larbi Tébessi - Tébessa — الموضوع 02

Soit le système dynamique suivant

$$\begin{cases} x'(t) = \dfrac{1}{\alpha}\left[ y(t) - h(x(t)) \right] \\ y'(t) = -\dfrac{1}{\beta}x(t) \end{cases} \quad (S)$$

où $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction de classe $C^1$, $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes positives.

1. Déterminer l'équilibre du système (S) et discuter sa stabilité.

2. Supposons que $h$ vérifie $x(t)\,h(x(t)) > 0$ pour $x \neq 0$. Montrer que l'équilibre est asymptotiquement stable et déterminer son bassin d'attraction.

Soit le système dynamique suivant

$$\begin{cases} x'(t) = \alpha\,x^3(t) \\ y'(t) = \beta\,y^3(t) \end{cases}, \quad t \ge 0.$$

1. Donner les points d'équilibre.

2. Donner les solutions qui passent par $(x_0, y_0)$ pour $t = 0$.

3. Étudier la nature des points d'équilibre.

4. Soient $\alpha > 0$, $\beta \le 0$ et $x_0 \neq 0$. Les solutions sont globales ?

Soit le problème de Cauchy suivant

$$\begin{cases} y' = \dfrac{1}{1 + xy} \\ y(0) = 0 \end{cases}$$

1. Montrer que le problème de Cauchy possède une solution maximale unique.

2. Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante.

3. Établir enfin qu'elle est définie sur $\mathbb{R}$.

4. Déterminer la limite en $+\infty$ de cette solution.