مسابقة دكتوراه 2018 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 02

Partie I : problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur.

On considère

$ \begin{cases} \partial_tu-\kappa\Delta u+u=0, & t\geq0,\ x\in\mathbb{R}^N,\ u(x,0)=u_0(x), & x\in\mathbb{R}^N, \end{cases}

o├╣ $\kappa>0$.

1. Si $u_0\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$, montrer par transformation de Fourier que

$
\widehat u(\xi,t)=\widehat u_0(\xi)e^{-t}e^{-\kappa t\lvert\xi\rvert^2}.

2. Prouver que

$ u(x,t)=\frac{e^{-t}}{(4\pi\kappa t)^{N/2}}\int_{\mathbb{R}^N}e^{-\frac{\lvert x-y\rvert^2}{4\kappa t}}u_0(y),dy.

3. Déduire que $u\in C^\infty(\mathbb{R}_+,\mathcal{S}'(\mathbb{R}^N))$.

4. En appliquant l’inégalité de Young, montrer que

$
\lVert u(t)\rVert_{L^\infty}\leq e^{-t}\lVert u_0\rVert_{L^\infty}

et en déduire que cette norme tend vers $0$ lorsque $t\to+\infty$.

5. Si $u_0\in L^2(\mathbb{R}^N)$, établir l’identité d’énergie associée et commenter sa conservation.

Partie II : problème de Neumann.

Soit $\Omega$ un ouvert régulier de $\mathbb{R}^N$. Trouver $u$ tel que

$ \begin{cases} -\kappa\Delta u+u=0, & x\in\Omega,\ \dfrac{\partial u}{\partial\eta}=0, & x\in\partial\Omega. \end{cases}

1. Établir une formulation variationnelle dans $H^1(\Omega)$.
2. Montrer l’existence et l’unicité de la solution faible.
3. Montrer l’équivalence avec l’équation dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ et la condition de Neumann.

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ un ouvert borné régulier. On considère

$ \begin{cases} -\Delta u=1, & x\in\Omega,\ u=0, & x\in\partial\Omega. \end{cases}

1. Établir la formulation variationnelle dans un espace fonctionnel à préciser.

2. Prouver que le problème admet une unique solution faible.

3. Supposons $\Omega=B(0,R)$ et $u$ radiale : $u(x)=u(r)$, $r=\lVert x\rVert$.

   1. Écrire le problème comme une équation différentielle ordinaire en coordonnées polaires.
   2. Résoudre cette EDO et en déduire l’expression explicite de $u$.