مسابقة دكتوراه 2015 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1

et $|\varphi(x)| \leq 1$ pour tout $x \in \Omega$.

$\langle x, Ax \rangle \geq 0 \quad \text{pour tout } x \in D(A).$

3. Montrer que $\|(A + I)x\|^2 \geq \|x\|^2 + \|Ax\|^2$, pour tout $x \in D(A)$. $I$ désigne l'opérateur identité sur $H$.

4. Si $A$ est fermé, montrer que $\mathrm{Im}(A + I)$ est fermé dans $H$.

5. Montrer que $A$ est auto-adjoint si et seulement si $A$ est fermé et l'équation $A^* x = -x$ n'a pas de solution non triviale.

6. Application : on considère l'opérateur $A = -\dfrac{d^2}{dx^2}$ sur $L^2$ de domaine . Quel est son adjoint ?