مسابقة دكتوراه 2019 — جامعة أحمد دراية - أدرار — الموضوع 02

Soit $(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi $N(0, 1)$.

1. Soit $a \in ]-1, 1[$. On définit un processus $AR(1)$ sur $\mathbb{N}$ en posant

$$X_n = a X_{n-1} + \varepsilon_n \quad \text{pour } n > 0 \quad \text{et} \quad X_0 = \varepsilon_0.$$

(a) Écrire $X_n$ en fonction de $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ et donner sa loi.

(b) Déterminer la fonction caractéristique de $X_n$.

(c) Donner la loi de $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$.

(d) Montrer que $(X_n)$ converge en loi et donner sa limite.

(e) Montrer que $(X_0 + X_1 + \cdots + X_n)/\sqrt{n}$ converge en loi. Donner sa limite.

2. Soit $(a_n)_n$ une suite de réels quelconques. On pose

$$M_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \varepsilon_i.$$

(a) Montrer que $M_n$ est une martingale adaptée à la filtration naturelle $\mathcal{F}_n$ de $(\varepsilon_n)$.

(b) Calculer la fonction caractéristique de $M_n$ et sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini.

Étant donné un Banach $X$, $T = (T(t))_{t \in \mathbb{R}^+} \subset L(X)$ est un semi-groupe fortement continu de contractions et $A : D(A) \subset X \to X$ est le générateur infinitésimal de $T$.

1) Soit $R(\lambda)x = \int_0^{+\infty} e^{-\lambda t} T(t)x\,dt$, $\lambda \in \mathbb{C}$, tel que $\mathfrak{Re}\lambda > 0$, et $x \in X$. Montrer que

$$\|R(\lambda)\| \le \frac{1}{\mathfrak{Re}\lambda}.$$

2) Prouver que, pour tous $x, \lambda$, on a $R(\lambda)x \in D(A)$ et pour tout $x \in X$, on a l'égalité

$$(\lambda I - A) R(\lambda) x = x.$$

3) Prouver que, pour tout $x \in D(A)$, on a

$$R(\lambda) A(x) = A R(\lambda) x$$

et

$$R(\lambda)(\lambda I - A) = Id.$$

4) En déduire que

$$\{ z \in \mathbb{C} : \mathfrak{Re} z > 0 \} \subseteq \rho(A) \quad (\rho(A) \text{ est l'ensemble résolvant de } A)$$

et que

$$R(\lambda) = (\lambda I - A)^{-1}.$$

5) On suppose que $A$ est un opérateur non borné de domaine dense tel que

$$]\lambda_0, +\infty[ \subset \rho(A) \quad \text{et} \quad \|R(\lambda)\| \le \frac{1}{\lambda}, \quad \text{pour } \lambda \ge \lambda_0 > 0,$$

où $R(\lambda) = (\lambda I - A)^{-1}$.

a) Prouver que

$$\lim_{\lambda \to +\infty} \lambda R(\lambda) x = x, \quad \text{pour tout } x \in X.$$

b) On note $A_\lambda = \lambda A R(\lambda)$ et on appelle $(A_\lambda)$ la suite d'approximations de Yosida de l'opérateur $A$. Montrer que, pour tout $x \in D(A)$, on a

$$\lim_{\lambda \to +\infty} A_\lambda x = A x.$$

c) On note $(e^{t A_\lambda})_{t \ge 0}$ le semi-groupe uniformément continu généré par $A_\lambda$. Prouver que

$$\| e^{t A_\lambda} x - e^{t A_\nu} x \| \le t \| A_\lambda x - A_\nu x \|,$$

et en déduire la convergence uniforme sur les compacts en $t$, et que, pour tout $x \in X$, on a

$$\lim_{\lambda \to +\infty} e^{t A_\lambda} x = T(t) x.$$