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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours Doctorat LMD 2015, Calcul Stochastique, Université Badji Mokhtar - Annaba, durée 1h30.

التمرين 1

Modèle binomial et mesure risque-neutre

#martingale#binomial-model#risk-neutral-measure

Pour Sn+1=Sn(1+a)S_{n+1}=S_n(1+a) ou Sn(1+b)S_n(1+b) et Sn0=(1+r)nS_n^0=(1+r)^n, caractériser les mesures sous lesquelles S~n=Sn/(1+r)n\widetilde S_n=S_n/(1+r)^n est une martingale.

◀الحل

E(S~n+1∣Fn)=S~nE(Tn+1∣Fn)/(1+r)E(\widetilde S_{n+1}|\mathcal F_n)=\widetilde S_nE(T_{n+1}|\mathcal F_n)/(1+r), donc la condition est E(Tn+1∣Fn)=1+rE(T_{n+1}|\mathcal F_n)=1+r. Si a<r<ba<r<b, la probabilité risque-neutre de la hausse est q=(r−a)/(b−a)q=(r-a)/(b-a) et celle de la baisse (b−r)/(b−a)(b-r)/(b-a).

التمرين 2

EDS linéaire par variation de la constante

#sde#ito-formula#brownian-motion

Résoudre dXt=a(t)Xtdt+b(t)dt+c(t)dBtdX_t=a(t)X_tdt+b(t)dt+c(t)dB_t, puis dXt=−Xtdt/(1+t)+dBt/(1+t)dX_t=-X_tdt/(1+t)+dB_t/(1+t), X0=0X_0=0.

◀الحل

Avec At=∫0ta(s)dsA_t=\int_0^ta(s)ds, Itô appliqué à e−AtXte^{-A_t}X_t donne Xt=eAt[X0+∫0te−Asb(s)ds+∫0te−Asc(s)dBs]X_t=e^{A_t}[X_0+\int_0^te^{-A_s}b(s)ds+\int_0^te^{-A_s}c(s)dB_s]. Dans le cas particulier eAt=1/(1+t)e^{A_t}=1/(1+t) et l'intégrande stochastique transformé vaut 11, donc Xt=Bt/(1+t)X_t=B_t/(1+t).

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