مسابقة دكتوراه 2016 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

I. Donner la définition de l'assurance vie.

II. On suppose que l'aggravation d'un risque décès se traduit par une augmentation du taux instantané de mortalité, soit

$ \mu_x^* = \mu_x + \alpha, \quad \text{o├╣ } \alpha \text{ constante positive}

où $\mu_x^*$ est le taux instantané de mortalité à l'âge $x$ du risque aggravé, et $\mu_x$ le taux instantané de mortalité à l'âge $x$ du risque normal.

1. Exprimer la probabilité de survie « aggravée » ${}_t p_x^*$ en fonction de ${}_t p_x$ et $\alpha$ où ${}_t p_x$ désigne la probabilité de survie.
2. Calculer en fonction de $\alpha$ la valeur de $t$ qui conduit à

$
{}_t p_x^* = \frac{{}_t p_x}{2}

et montrer qu'elle est indépendante de l'âge initial $x$. 3. Montrer que l'espérance de vie du risque aggravé, que l'on note $\mathring{e}_x^*$, peut écrire

$ \mathring{e}_x^* = \int_0^{\omega - x} {}_t p_x \exp(-\alpha t),dt.

4. Calculer l'espérance de vie du risque aggravé lorsque la loi de survie est celle de De Moivre ($l_x = \omega - x$) et comparer avec celle d'un risque normal.