مسابقة دكتوراه 2013 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 02

Soit $\Omega = ]c, d[$, pour $\varepsilon > 0$ soit le problème $(P_\varepsilon)$ suivant

$$\begin{cases} -\dfrac{d}{dx}\left( a_\varepsilon \dfrac{du_\varepsilon}{dx} \right) + b_\varepsilon u_\varepsilon = f_\varepsilon & \text{dans } \Omega, \\ u_\varepsilon = 0 & \text{sur } \partial \Omega, \end{cases} \qquad (P_\varepsilon)$$

avec

$$0 < \alpha \leq a_\varepsilon(x) \leq \beta \quad \text{pp sur } \Omega, \qquad (d)$$ $$\frac{1}{a_\varepsilon(x)} \rightharpoonup c \quad \text{faible-}* \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ quand } \varepsilon \to 0, \qquad (e)$$

avec

$$0 < \gamma \leq c(x) \leq \eta \quad \text{pp sur } \Omega, \qquad (f)$$ $$b_\varepsilon \geq 0 \ \text{pp sur } \Omega, \qquad f_\varepsilon \rightharpoonup f \ \text{faible dans } L^2(\Omega), \qquad (g)$$

et

$$b_\varepsilon \rightharpoonup b \quad \text{faible-}* \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ quand } \varepsilon \to 0. \qquad (h)$$

1. (3 pts) Montrer que le problème $(P_\varepsilon)$ admet une unique solution faible $u_\varepsilon$ dans $H_0^1(\Omega)$.
2. (11 pts) Montrer que

$$u_\varepsilon \rightharpoonup u_0 \quad \text{faible dans } H_0^1(\Omega)$$

avec $u_0$ solution faible unique d'un certain problème $(P_0)$ à déterminer. 3. (2 pts) Que devient le problème si les hypothèses $(d)$, $(e)$ et $(f)$ sont remplacées par

$$a_\varepsilon(x) = a\left( \frac{x}{\varepsilon} \right)$$

avec $a$ une fonction $Y$-périodique, avec $Y = ]0, l[$, vérifiant

$$0 < \alpha \leq a(y) \leq \beta \quad \text{pp sur } Y.$$

4. (2 pts) Que devient le problème si les hypothèses $(d)$, $(e)$ et $(f)$ sont remplacées par

$$a_\varepsilon \to a \ \text{fort dans } L^\infty(\Omega) \quad \text{et} \quad 0 < \alpha \leq a_\varepsilon(x) \ \text{pp sur } \Omega.$$

5. (2 pts) Que devient le problème si les hypothèses $(e)$ et $(f)$ sont vraies seulement pour une sous-suite.