مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 02

Soit $E$ un espace vectoriel et soit $A \subset E \times \mathbb{R}$ un sous ensemble convexe. On définit la fonction $f : E \to [-\infty, +\infty[$ par

$$f(x) = \inf \{ \lambda : \ (x, \lambda) \in A \}.$$

Montrer que $f$ est convexe.

Soit $X$ et $Y$ des ensembles et $F : X \to \mathcal{P}(Y)$ une multifonction.

1. Montrer que

$$F\left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) := \bigcup_{i \in I} F(A_i).$$

2. Si $X$ et $Y$ sont des espaces normés, on dit que $F : X \to \mathcal{P}(Y)$ est :

   a) semi continue supérieurement en $x_0 \in X$ si pour tout ouvert $U$ de $Y$ contenant $F(x_0)$ il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que $F(V) \subset U$,

   b) $\varepsilon$-semi continue supérieurement en $x_0 \in X$ si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que

$$F(x_0 + \delta B) \subset F(x_0) + \varepsilon B,$$

$B$ étant la boule unité.

Montrer que si $F$ est semi continue supérieurement en $x_0$, alors elle est $\varepsilon$-semi continue supérieurement en $x_0$.

Déterminer le nombre de racines des équations suivantes sur le disque indiqué

1. $z^6 - 6z + 10 = 0$ dans $|z| < 1$,
2. $z^4 - 5z + 1 = 0$ dans $|z| < 2$.