مسابقة دكتوراه 2013 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 03

Soient $(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite orthonormée dans un espace de Hilbert $H$, on définit $H_n = \langle e_1, e_2, \ldots, e_n \rangle$, le sous-espace engendré par le système $(e_i)_{i=1,\ldots,n}$. Notons

$$P_n : H \to H_n, \qquad x \longmapsto \sum_{i=1}^{n} (x, e_i)\, e_i$$

1. Montrer que $P_n$ est linéaire, borné et que $\|P_n\| \leq 1$.
2. Calculer $P_n^*$, et montrer que $P_n \geq 0$ et que $(P_n x, x) = \|P_n x\|^2$ pour tout $x \in H$.
3. Montrer que pour $m \geq n$ on ait $P_m P_n = P_n$ et $\|P_m x\| \geq \|P_n x\|$ pour tout $x \in H$.
4. Étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, $A : X \to Y$ un opérateur linéaire borné. Notons $R(A)$ l'image de $A$ et supposons que $\dim(Y / R(A)) = n$ est finie.

1. Montrer que si $(\overline{y_1}, \ldots, \overline{y_n})$ est une base de l'espace quotient $Y / R(A)$, alors $(y_1, \ldots, y_n)$ est un système libre de $Y$.
2. Soit $N = \langle y_1, \ldots, y_n \rangle$ le sous-espace vectoriel engendré par $(y_1, \ldots, y_n)$, montrer que $Y = R(A) \oplus N$.
3. Montrer que $R(A)$ est fermé dans $Y$.

Considérons $\mathbb{R}^n$ muni de la norme $\|x\| = \|(x_1, \ldots, x_n)\| = \sum_{1}^{n} |x_i|$, on définit l'application linéaire $A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, donnée par sa matrice $(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}$ telle que pour tout $j = 1, \ldots, n$ on ait $\sum_{i=1}^{n} a_{ij} = 1$ et $a_{ij} \geq 0$ pour tout $(i, j)$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ : $\|Ax\| \leq \|x\|$.
2. Soit

$$C = \left\{ x \in \mathbb{R}^n,\ x_i \geq 0 \ \text{et} \ \sum_{1}^{n} x_i = 1 \right\}$$

Montrer que $C$ est convexe compact de $\mathbb{R}^n$ et que pour tout $x \in C$ on ait $\|Ax\| = \|x\|$. 3. Notons $C_k = A^k(C)$, $k = 0, 1, 2, \ldots$, montrer que $(C_k)$ est une suite décroissante d'intersection $D$ non vide, et que $A(D) = D$.