مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Concours d'entrée à l'école doctorale EDP et Applications, USTHB/Constantine, 23 octobre 2013, Première épreuve, durée 2h.

التمرين 1

Norme subordonnée sur les matrices et différentielle de M ↦ M³

#operator-norm#matrix-norm#differentiability#frechet-derivative

Soit $E=\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathbb R^n$ . 1) Montrer que $N(M)=\sup_{x\ne0}\frac{\|Mx\|}{\|x\|}$ définit une norme sur $E$ . 2) Montrer que $N(M_1M_2)\le N(M_1)N(M_2)$ . 3) Montrer que $\Phi:E\to E$ , $M\mapsto M^3$ est différentiable et donner sa différentielle en $M$ .

◀الحل

1) $N$ est bien définie (sup fini par équivalence des normes en dimension finie), positive, séparée ( $N(M)=0\Rightarrow Mx=0\ \forall x\Rightarrow M=0$ ), homogène, et sous-additive : $\|(M_1+M_2)x\|\le\|M_1x\|+\|M_2x\|$ donne $N(M_1+M_2)\le N(M_1)+N(M_2)$ .

2) $\|M_1M_2x\|\le N(M_1)\|M_2x\|\le N(M_1)N(M_2)\|x\|$ , d'où $N(M_1M_2)\le N(M_1)N(M_2)$ (norme d'algèbre).

3) $\Phi(M+H)=(M+H)^3=M^3+(M^2H+MHM+HM^2)+(MH^2+HMH+H^2M)+H^3$ . Le terme linéaire en $H$ est $D\Phi(M)\cdot H=M^2H+MHM+HM^2$ , et le reste est $O(\|H\|^2)$ . Donc $\Phi$ est différentiable de différentielle $D\Phi(M)(H)=M^2H+MHM+HM^2$ .

التمرين 2

Noyau de Poisson périodique et fonction harmonique

#fourier-series#poisson-kernel#harmonic-functions#smoothness

Pour $f$ continue $2\pi$ -périodique on note $\widehat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx$ . Pour une suite $(\alpha_n)_{n\in\mathbb Z}$ , $\sum_{n\in\mathbb Z}\alpha_n=\sum_{n\ge0}\alpha_n+\sum_{n\ge1}\alpha_{-n}$ . 1) Pour quels $(t,x)\in\mathbb R^2$ la série $\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-|n|t}e^{inx}$ converge-t-elle ? 2) Pour $t>0$ , $P(t,x)=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-|n|t}e^{inx}$ : a) vérifier que $P$ est réelle et calculer $\int_{-\pi}^\pi P(t,x)dx$ ; b) montrer que $P$ est indéfiniment dérivable ; c) calculer $\frac{\partial^2P}{\partial t^2}+\frac{\partial^2P}{\partial x^2}$ . 3) Calculer les coefficients de Fourier de $P$ .

◀الحل

1) Le terme général a pour module $e^{-|n|t}$ . La série converge (absolument) ssi $t>0$ ; pour $t=0$ elle diverge (termes de module $1$ ), pour $t<0$ elle diverge grossièrement.

2a) $P(t,x)=1+2\sum_{n\ge1}e^{-nt}\cos(nx)$ (regroupement $n$ et $-n$ ), donc réelle. $\int_{-\pi}^\pi P\,dx=2\pi$ (seul le terme $n=0$ contribue). En sommant la série géométrique, $P(t,x)=\frac{1-e^{-2t}}{1-2e^{-t}\cos x+e^{-2t}}$ (noyau de Poisson). b) Pour $t\ge t_0>0$ , la série et toutes ses dérivées convergent normalement (majoration $|n|^ke^{-nt}$ sommable), donc $P\in C^\infty$ . c) Chaque terme $e^{-|n|t}e^{inx}$ vérifie $(\partial_t^2+\partial_x^2)=(n^2-n^2)=0$ , donc $\frac{\partial^2P}{\partial t^2}+\frac{\partial^2P}{\partial x^2}=0$ : $P$ est harmonique.

3) Par identification, $\widehat P(n)=e^{-|n|t}$ pour tout $n\in\mathbb Z$ .

التمرين 3

Mesure de Lebesgue, convergence dominée et convergence uniforme

#lebesgue-measure#dominated-convergence#uniform-convergence#l1-space

A) Soit $f\in\mathcal L^1(\mathbb R)$ . 1) Soit $E=\{x\in\mathbb R:|\sin x|=1\}$ . Évaluer la mesure de Lebesgue de $E$ . 2) Calculer $\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb R}f(x)(\sin x)^n dx$ . B) Soit $\alpha\ge0$ ; pour $n\ge1$ , $f_{n,\alpha}(x)=\frac{e^{-\alpha|x|}}n\mathbf 1_{[0,n^2]}(x)$ . 1) Montrer que $f_{n,\alpha}\to0$ uniformément sur $\mathbb R$ . 2) Étudier $\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb R}f_{n,\alpha}(x)dx$ pour $\alpha=0$ et $\alpha=1$ . Conclure.

◀الحل

A1) $E=\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$ est dénombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle. 2) Pour $x\notin E$ (p.p.), $|\sin x|<1$ donc $(\sin x)^n\to0$ , et $|f(x)(\sin x)^n|\le|f(x)|\in L^1$ . Par convergence dominée, $\lim\int f(\sin x)^n dx=0$ .

B1) $\sup_x|f_{n,\alpha}(x)|\le\frac1n\to0$ (car $e^{-\alpha|x|}\le1$ ), donc convergence uniforme vers $0$ . 2) $\int f_{n,\alpha}=\frac1n\int_0^{n^2}e^{-\alpha x}dx$ . Pour $\alpha=0$ : $=\frac1n\cdot n^2=n\to+\infty$ . Pour $\alpha=1$ : $=\frac1n(1-e^{-n^2})\to0$ . Conclusion : la convergence uniforme vers $0$ n'entraîne pas la convergence des intégrales (échec sans domination : cas $\alpha=0$ ), alors qu'avec la décroissance exponentielle ( $\alpha=1$ ) l'intégrale tend bien vers $0$ .

→←

→السابقConcours Doctorat 2013 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — Épreuve N°02 التاليConcours Doctorat 2013 — Université Yahia Farès - Médéa — Épreuve N°02←