مسابقة دكتوراه 2013 — جامعة جيلالي اليابس - سيدي بلعباس — الموضوع 03

Exercice 1

1. Le modèle classique de Lotka-Volterra n'est pas satisfaisant du point de vue biologique. Justifier pourquoi.
2. Un modèle plus réaliste doit au moins prendre en compte une auto-régulation de la croissance des proies par une fonction logistique par exemple. Une version modifiée du modèle de Lotka-Volterra est donnée par :

$$\begin{cases} N' = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right) - \beta NP, \\ P' = P(\alpha N - \delta). \end{cases}$$

Avec $K$ la capacité limite, $r$ et $\alpha$, $\beta$, $\delta$ des paramètres strictement positifs. Quel est le type d'interaction dans ce modèle ? 3. Rechercher les points d'équilibre. 4. Étudier la stabilité locale des équilibres. 5. Trouver les isoclines zéro dans le plan $(N, P)$. 6. Ébaucher les portraits de phases. 7. Interpréter biologiquement les portraits de phases dans les cas $K < \frac{\delta}{\alpha}$ et $K > \frac{\delta}{\alpha}$.

Exercice 2

Un modèle SIRS simple, développé pour décrire la dynamique d'une épidémie, s'écrit de la manière suivante :

$$\begin{cases} S' = -\beta SI + \gamma R, \\ I' = \beta SI - \delta I, \\ R' = \delta I - \gamma R, \end{cases}$$

où $S(t)$ sont les individus sains, $I(t)$ les individus infectés et $R(t)$ les individus immunisés ou en rémission. Le paramètre $\beta$ est le taux d'infection, $\delta$ le taux de guérison (passage du compartiment des individus infectés au compartiment des individus immunisés) et $\gamma$ le taux de perte d'immunité (retour dans le compartiment des individus sains et susceptibles de contracter la maladie).

1. Réduire, en justifiant, le modèle à un système à deux équations seulement.
2. Trouver les équilibres du nouveau modèle.
3. Étudier la stabilité des équilibres, et ébaucher les portraits de phases correspondants.
4. Donner une interprétation biologique au dernier résultat.
5. Donner la condition d'instabilité de l'équilibre $(N, 0)$. Donner la signification biologique de cette condition.

Exercice 3

Un système, contenant deux équations aux dérivées partielles avec diffusions spatiales, des conditions aux limites (…).

ملاحظة: نص التمرين 3 غير مكتمل في الصورة الأصلية (مقطوع أسفل الورقة).