مسابقة دكتوراه 2015 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 02

Considérons le système suivant sur $L^2(0, 1)$ :

$$\frac{\partial y}{\partial t}(x, t) = \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x, t), \quad 0 < x < 1, \ t > 0,$$ $$y(0, t) = y(1, t) = 0, \quad t > 0,$$ $$z(t) = \int_0^1 c(x)\, y(x, t)\, dx, \quad t > 0. \qquad (1)$$

où $c(x) = 1_{[1 - \epsilon, 1]}(x)$, et $\epsilon > 0$ est tel que $0 < 1 - \epsilon < 1$.

1. Réécrire ce système sous la forme

$$y'(t) = A y(t),$$ $$z(t) = C y(t)$$

2. Préciser l'espace d'état $Y$ et l'espace de sorties $Z$.
3. Montrer que $A$ est un opérateur spectral de Riesz. En déduire que $A$ engendre un $C_0$-semigroupe $S(t)$ sur $Y$. Donner l'expression de ce semi-groupe.
4. Montrer que $C \in \mathcal{L}(Y, Z)$.
5. Étudier l'observabilité approchée du système (1) sur $[0, T]$.