مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 02

Soit $M_n(\mathbb{R})$ l'espace des matrices carrées réelles de type $(n, n)$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on définit deux normes :

$$\|A\|_1 = \sum_{1 \leq i, j \leq n} |a_{ij}| \qquad \text{et} \qquad \|A\|_2 = \sup_{1 \leq i, j \leq n} |a_{ij}|.$$

1. Montrer que $\forall (A, B) \in (M_n(\mathbb{R}))^2$ : (a) il existe $k_1 > 0$ telle que $\|AB\|_1 \leq k_1 \|A\|_1 \|B\|_1$ ; (b) il existe $k_2 > 0$ telle que $\|AB\|_2 \leq k_2 \|A\|_2 \|B\|_2$.
2. Trouver deux matrices $A$ et $B$ telles que $\|AB\|_2 = \|A\|_2 \|B\|_2$.
3. Montrer que ces deux normes sont équivalentes.
4. Déterminer une relation d'inclusion entre les boules unités des deux normes.
5. Cette inclusion est-elle stricte ?

Soit $1 \leq p \leq +\infty$. On note $p' \in [1, +\infty]$ l'exposant conjugué de $p$ défini par la relation : $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$, (avec la convention $\frac{1}{\infty} = 0$).

On considère l'espace $E = \mathbb{R}^n$ muni de la norme $\|\cdot\|_p$ : $\|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{1/p}$, et on note $E'$ son espace dual muni de la norme duale définie par :

$$\|L\|_{E'} = \sup_{x \neq 0} \frac{|L(x)|}{\|x\|_p}, \quad \forall L \in E'.$$

On note $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $E$. On définit l'application :

$$\Phi : E' \longrightarrow E \quad \text{par} : \quad \Phi(L) = (L(e_i))_{1 \leq i \leq n}.$$

1. Montrer que $\Phi$ est linéaire bijective.
2. Montrer que l'inverse de $\Phi$ est l'application $\Psi : E \longrightarrow E'$ telle que :

$$\Psi(y)(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i, \quad x \in E.$$

(on notera que $\Psi(y)(x)$ n'est autre que le produit scalaire de $x$ et de $y$ : $(x, y) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$) 3. On munit l'espace $E$ de la norme $\|\cdot\|_{p'}$. (a) Montrer l'inégalité suivante : $\sum_{i=1}^{n} |(\Phi(L))_i|^{p'} \leq \|L\|_{E'}\, \|x\|_{p'}$. (Indication : utiliser le vecteur $x \in \mathbb{R}^n$, tel que $x_i = |(\Phi(L))_i|^{p' - 2}\, (\Phi(L))_i$) (b) Montrer que $\Phi$ est une isométrie de $(E', \|\cdot\|_{E'})$ sur $(E, \|\cdot\|_{p'})$.