مسابقة دكتوراه 2022 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

Soient $p$ et $q$ deux entiers tels que $p$ ou $q$ soit strictement supérieur à 1. On considère la suite de fonction définie par

$$f_n(x) = \frac{x}{n^p + x^2 n^q}, \quad n \geq 1, \quad x \in \mathbb{R}.$$

1. Montrer que cette série converge simplement sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que la fonction $x \mapsto f_n(x)$ admet un maximum au point $x_0 = n^{\frac{1}{2}(p - q)}$. En déduire, la convergence de la suite de fonction $(f_n)_n$ normalement sur $\mathbb{R}$ si $p + q > 2$.
3. Montrer que la suite de fonction $(f_n)_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$ si $p + q \leq 2$.

Soient $H$ et $K$ deux espaces préhilbertien réels et $f : H \longrightarrow K$ une application surjective qui vérifie les conditions suivantes :

(H-1) $f(0) = 0$. (H-2) Pour tout $x, y \in H$, $\|f(x) - f(y)\| = \|x - y\|$.

1. Montrer que $f$ est continue.
2. Montrer que pour tout $x, y \in H$, $\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$.
3. Montrer que $f$ est linéaire.

Soit $\ell^2$ l'espace des suites carrées sommables muni de la norme suivante :

$$\|(x_1, x_2, x_n, \ldots)\| = \left( \sum_{i=1}^{i=\infty} |x_i|^2 \right)^{\frac{1}{2}}, \quad \text{pour tout } (x_n)_{n \geq 1} \in \ell^2.$$

Soit $(\lambda_n)_{n \geq 1}$ une suite bornée dans $\mathbb{C}$ et $M = \sup_{n \geq 1} |\lambda_n|$. Soit $T : \ell^2 \longrightarrow \ell^2$ un opérateur défini par :

$$T(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (\lambda_1 x_1, \lambda_2 x_2, \lambda_3 x_3, \ldots).$$

1. Montrer que $T$ est linéaire, continu et calculer sa norme.
2. Montrer que si $a = \inf_{n \geq 1} |\lambda_n| > 0$, alors $T$ est bijectif. Préciser $T^{-1}$ et déterminer sa norme.
3. Supposons qu'il existe $p \in \mathbb{N}^*$, tel que $\lambda_p = 0$. Montrer que $T$ n'est ni injectif ni surjectif.
4. Montrer que $\{\lambda_n : n \geq 1\}$ est l'ensemble des valeurs propres de $T$.