مسابقة دكتوراه 2015 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

Concours 3ème cycle EDP et applications, épreuve Analyse fonctionnelle, Université de Batna, 2015.

التمرين 1

Projections orthogonales dans un espace de Hilbert

#hilbert-space#orthogonal-projection#adjoint

Pour une suite orthonormée $(e_i)$ , poser $P_nx=\sum_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle e_i$ . Étudier bornitude, adjoint, positivité, composition et convergence de $(P_n)$ .

◀الحل

Bessel donne $\|P_nx\|\le\|x\|$ . On a $P_n^*=P_n$ , $P_n^2=P_n$ et $\langle P_nx,x\rangle=\|P_nx\|^2$ . Si $m\ge n$ , $P_mP_n=P_n$ et $\|P_mx\|\ge\|P_nx\|$ . La série de Fourier converge vers la projection sur $\overline{\mathrm{span}}\{e_i\}$ , donc $P_n$ converge fortement.

التمرين 2

Image fermée d'un opérateur de codimension finie

#banach-spaces#closed-range#quotient-space

Soit $A:X\to Y$ borné entre Banach et $\dim(Y/R(A))<\infty$ . Montrer que $R(A)$ est fermé.

◀الحل

Choisir des représentants $y_1,\dots,y_n$ d'une base de $Y/R(A)$ donne $Y=R(A)\oplus N$ , $N=\mathrm{span}(y_i)$ . Un sous-espace de codimension finie est l'intersection des noyaux d'un nombre fini de formes linéaires continues, donc il est fermé.

التمرين 3

Matrice stochastique et simplexe invariant

#matrix#simplex#compactness#fixed-point

Pour $a_{ij}\ge0$ et $\sum_i a_{ij}=1$ , étudier $A$ sur $(\mathbb R^n,\|\cdot\|_1)$ et les compacts $C_k=A^k(C)$ , où $C$ est le simplexe.

◀الحل

$\|Ax\|_1\le\sum_{ij}a_{ij}|x_j|=\|x\|_1$ . Le simplexe $C$ est compact convexe, $A(C)\subset C$ et la norme vaut $1$ sur $C$ . Les $C_k$ sont des compacts non vides emboîtés, donc $D=\cap_kC_k\ne\varnothing$ . La continuité donne $A(D)\subset D$ ; l'argument des fibres compactes emboîtées donne l'inclusion inverse, donc $A(D)=D$ .

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