الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 17 octobre 2015, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Variables iid, loi uniforme, exponentielle, gamma et beta

#iid-variables#exponential-distribution#gamma-distribution#beta-distribution

Soit X1,...,XnX_1, ..., X_n une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi de probabilité continue FF.

  1. Montrer que F(X1),...,F(Xn)F(X_1), ..., F(X_n) sont iid et uniformément distribuées sur [0,1][0, 1].
  2. Montrer que E1=−log⁡F(X1),...,En=−log⁡F(Xn)E_1 = -\log F(X_1), ..., E_n = -\log F(X_n) sont iid exponentielles de paramètre 1.
  3. Quelle est, pour chaque ii, la loi de probabilité de la variable aléatoire Si=E1+...+EiS_i = E_1 + ... + E_i ?
  4. Soit Z1,Z2Z_1, Z_2 deux variables aléatoires indépendantes de lois gamma de paramètres (α,θ)(\alpha, \theta) et (β,θ)(\beta, \theta) respectivement. Indiquer (sans le démontrer) quelle est la loi de la variable aléatoire Y=Z1/(Z1+Z2)Y = Z_1/(Z_1 + Z_2).
  5. Déduire, de la question 4, la loi de probabilité de la variable aléatoire Vi=Si/SnV_i = S_i/S_n, i=1,...,ni = 1, ..., n. Indication : écrire SnS_n sous forme de la somme de deux termes.
◀الحل

1.

Par le théorème de la transformation par la fonction de répartition, Ui=F(Xi)∼U([0,1])U_i = F(X_i) \sim \mathcal{U}([0,1]). Les UiU_i sont indépendants car les XiX_i le sont.

2.

P(Ei≤t)=P(−log⁡Ui≤t)=P(Ui≥e−t)=1−e−tP(E_i \leq t) = P(-\log U_i \leq t) = P(U_i \geq e^{-t}) = 1 - e^{-t} pour t≥0t \geq 0, donc Ei∼E(1)E_i \sim \mathcal{E}(1).

3.

SiS_i est la somme de ii variables exponentielles iid de paramètre 1 :

Si∼Γ(i,1)\boxed{S_i \sim \Gamma(i, 1)}

4.

Y=Z1/(Z1+Z2)∼Beta(α,β)Y = Z_1/(Z_1+Z_2) \sim \mathcal{B}eta(\alpha, \beta).

5.

On écrit Sn=Si+(Sn−Si)S_n = S_i + (S_n - S_i) avec Si∼Γ(i,1)S_i \sim \Gamma(i,1) et Sn−Si∼Γ(n−i,1)S_n - S_i \sim \Gamma(n-i,1) indépendants. Par la question 4 :

Vi=Si/Sn∼Beta(i,n−i)\boxed{V_i = S_i/S_n \sim \mathcal{B}eta(i, n-i)}

التمرين 2

Exercice 2 — Densité de type Weibull : loi de $Y=X^2/2$, estimateur MV, biais et convergence

#maximum-likelihood#weibull-distribution#unbiased-estimator#consistency

Soit XX une variable aléatoire de densité de probabilité ff définie sur R\mathbb{R} par

f(x)={xθexp⁡ ⁣{−x22θ}si x>00si x≤0,θ>0.f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\theta} \exp\!\left\{-\dfrac{x^2}{2\theta}\right\} & \text{si } x \gt 0 \\\\ 0 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}, \quad \theta \gt 0.

  1. Déterminer la fonction de répartition de Y=X2/2Y = X^2/2, puis déduire sa densité de probabilité. À quelle loi de probabilité usuelle correspond-elle ?
  2. Déterminer, à partir d'un échantillon (X1,...,Xn)(X_1, ..., X_n), de taille n≥1n \geq 1, de XX, l'estimateur θ^\widehat{\theta} du maximum de vraisemblance du paramètre θ\theta.
  3. Montrer que θ^\widehat{\theta} est sans biais et convergent en moyenne quadratique (pour θ\theta). On rappelle que l'espérance et la variance d'une variable aléatoire exponentielle, de paramètre α>0\alpha \gt 0, sont respectivement égales à 1/α1/\alpha et 1/α21/\alpha^2.
◀الحل

1.

Pour y≥0y \geq 0 : P(Y≤y)=P(X≤2y)=1−e−y/θP(Y \leq y) = P(X \leq \sqrt{2y}) = 1 - e^{-y/\theta}, donc Y∼E(1/θ)Y \sim \mathcal{E}(1/\theta), loi exponentielle de paramètre 1/θ1/\theta.

2.

La log-vraisemblance vaut ℓ(θ)=−nlog⁡θ−12θ∑Xi2+cte\ell(\theta) = -n\log\theta - \frac{1}{2\theta}\sum X_i^2 + \text{cte}. En annulant la dérivée :

θ^=12n∑i=1nXi2\boxed{\widehat{\theta} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2}

3.

Puisque Xi2/2∼E(1/θ)X_i^2/2 \sim \mathcal{E}(1/\theta), on a E[Xi2]=2θE[X_i^2] = 2\theta, d'où E[θ^]=θE[\widehat{\theta}] = \theta (sans biais). De plus Var(θ^)=θ2/n→0\text{Var}(\widehat{\theta}) = \theta^2/n \to 0, donc θ^\widehat{\theta} est convergent en moyenne quadratique.

التمرين 3

Exercice 3 — Test d'hypothèse unilatéral : fonction puissance, risque de 1ère espèce, test sans biais

#hypothesis-testing#power-function#normal-distribution#type-I-error

Soit (X1,...,Xn)(X_1, ..., X_n) un échantillon, de taille n≥1n \geq 1, d'une population normale d'espérance μ\mu et de variance 1. Pour trancher entre l'hypothèse nulle H0:μ≥2H_0 : \mu \geq 2 contre l'hypothèse alternative H1:μ<2H_1 : \mu \lt 2, on propose le test dont la région de rejet est W={(x1,...,xn)∈Rn:xˉ<2−1/n}W = \{(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{R}^n : \bar{x} \lt 2 - 1/\sqrt{n}\}.

  1. Déterminer la fonction puissance de ce test. Étudier ses variations puis tracer (approximativement) son graphe.
  2. Sachant que la valeur de la fonction de répartition de la loi normale standard en 1 est égale à 0.84, déterminer le risque de première espèce de ce test.
  3. Vérifier que ce test est sans biais.
◀الحل

1.

Sous PμP_\mu, Xˉ∼N(μ,1/n)\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, 1/n). La fonction puissance est :

β(μ)=Φ ⁣(n(2−μ)−1)\beta(\mu) = \Phi\!\left(\sqrt{n}(2-\mu) - 1\right)

où Φ\Phi est la fonction de répartition de N(0,1)\mathcal{N}(0,1). β\beta est décroissante en μ\mu.

2.

Le sup sur H0H_0 est atteint en μ=2\mu = 2 :

α=β(2)=Φ(−1)=1−0.84=0.16\alpha = \beta(2) = \Phi(-1) = 1 - 0.84 = \boxed{0.16}

3.

Pour μ≥2\mu \geq 2 : β(μ)≤0.16=α\beta(\mu) \leq 0.16 = \alpha. Pour μ<2\mu \lt 2 : β(μ)≥α\beta(\mu) \geq \alpha. Donc le test est sans biais.

→السابقConcours Doctorat 2015 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — Épreuve N°03التاليConcours Doctorat 2015 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd — Épreuve N°03←