الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

JSON import — Université Constantine 1 2013 — Université Constantine 1 — Faculté des Sciences Exactes — Département de Mathématiques — Concours d'accès au Doctorat: Equations Différentielles — 19/10/2013 — Epreuve 1 — Source: 9-univ PDF page 49.

التمرين 1

Exercice 1 — Type de l'équation $y\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

#EDP#classification des EDP#équation elliptique

Quel est le type de l'équation :

y rac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 ?

التمرين 2

Exercice 2 — Intégrales complexes sur $|z-q|=1$ : $\oint e^z \sin\pi z/(z^2-1)^2 dz$, $\cos\pi z/(z^2+1)^2 dz$, $(e^z+\sqrt{z})/z dz$

#analyse complexe#intégrales curvilignes#résidus

Calculer les intégrales suivantes :

∮∣z−q∣=1ezsin⁡πz(z2−1)2dz\oint_{|z-q|=1} \frac{e^z \sin \pi z}{(z^2-1)^2} dz ∮∣z−q∣=1cos⁡πz(z2+1)2dz\oint_{|z-q|=1} \frac{\cos \pi z}{(z^2+1)^2} dz ∮∣z∣=1ez+zzdz\oint_{|z|=1} \frac{e^z + \sqrt{z}}{z} dz

التمرين 3

Exercice 3 — Espace mesuré $(\Omega, \Sigma, \mu)$: $\|f\|_p \le [\mu(\Omega)]^{1/p - 1/q} \|f\|_q$ pour $p \le q$

#mesure#espaces $L^p$#inégalités

Soit (Ω,Σ,μ)(\Omega, \Sigma, \mu) un espace mesuré. Si μ(Ω)<∞\mu(\Omega) < \infty et 1≤p<q<+∞1 \le p < q < +\infty :

  1. Montrer que ∥f∥p≤[μ(Ω)]1/p−1/q∥f∥q\|f\|_p \le [\mu(\Omega)]^{1/p - 1/q} \|f\|_q \quad (1)

où ∥⋅∥p\|\cdot\|_p désigne la norme dans Lp(Ω,Σ,μ)L^p(\Omega, \Sigma, \mu).

  1. Que peut-on déduire de la relation (1) ?

التمرين 4

Exercice 4 — Problème à valeurs initiales $y'' + 4y' + 5y = \delta(t)$, transformée de Laplace

#EDO#transformée de Laplace#Dirac#problème de Cauchy

Soit le problème à valeurs initiales suivant :

(P):{y′′+4y′+5y=δ(t)y(0)=0,y′(0)=0(P) : \begin{cases} y'' + 4y' + 5y = \delta(t) \\ y(0) = 0, \quad y'(0) = 0 \end{cases}

où δ(t)\delta(t) est la fonction de Dirac. Résoudre le problème (P)(P) en utilisant la transformation de Laplace L\mathcal{L}. (La transformation de Laplace L\mathcal{L} de f(t)f(t) notée F(s)=[Lf](s)F(s) = [\mathcal{L}f](s) est définie par F(s)=[Lf](s)=∫0∞e−stf(t)dtF(s) = [\mathcal{L}f](s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt.)

→السابقConcours 3ème Cycle LMD 2013-2014 — Biskra — Topologie et Mesure — 12/10/2013التاليConcours Doctorat 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°01←