مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

On munit $I = [-\pi, \pi]$ de la mesure de Lebesgue et on considère l'espace $L^2(I)$ des fonctions réelles de carré intégrable sur $I$, sur lequel on définit le produit scalaire usuel $\langle f, g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t)dt$. On rappelle que la famille $S = \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}, n > 1\right\}$ constitue une base hilbertienne de l'espace de Hilbert $L^2(I)$ et que $\|f\|_2^2 = \langle f, f\rangle$.

1. Calculer $\left\langle x, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\rangle$, $\left\langle x, \frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\right\rangle$, $\left\langle x, \frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\right\rangle$.

2. Montrer que $\left\|x + \sum_{k=1}^n (-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}\right\|_2 \to 0$, lorsque $n \to \infty$.

3. Calculer $\|x\|_2^2$ et montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

On munit $L^2([-1,1])$ du produit scalaire $\langle f, g\rangle = \int_{-1}^{1} f(t)g(t)dt$.

1. Vérifier que les polynômes $X_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $X_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}x$, $X_2 = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(3x^2-1)$ sont orthogonaux deux à deux. Calculer la norme $\|X_1\|_2$ de $X_1$ dans $L^2([-1,1])$.

2. Soit $V$ le sous espace vectoriel de $L^2([-1,1])$ engendré par $\{X_0, X_1, X_2\}$ et soit $P$ la projection orthogonale de $L^2([-1,1])$ sur $V$. Calculer $P(x^3)$, $P(e^x)$.

3. Expliquer sans faire de calcul, pourquoi on a les égalités :

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Montrer que $f = g.\lambda$ p.p. si et seulement si $f = g$.