مسابقة دكتوراه 2016 — Université de Ghardaïa

Les systèmes dynamiques suivants admettent-ils des orbites fermées non triviales dans le plan ? Justifier.

(A)

$$\begin{cases} \dot{x}=-x^3+y,\\ \dot{y}=x-y-1. \end{cases}$$

(B)

$$\begin{cases} \dot{x}=6x+\pi y,\\ \dot{y}=-\pi x+y. \end{cases}$$

En considérant les deux cas $a=0$ et $a\neq0$, résoudre sur l'intervalle $[0,2]$ l'équation différentielle à retard suivante :

$$\dot{x}(t)=ax(t)+bx(t-1),$$

où

$$x(t)=\phi(t)=1+t, \qquad t\in[-1,0],$$

avec $a=\mathrm{cte}$ et $b=\mathrm{cte}\neq0$.

Indication. Considérer l'équation sur chacun des intervalles $[0,1]$ et $[1,2]$.