مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

On a considéré le problème modèle de l’équation de la chaleur

$ \begin{cases} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}=2, & 0<x<1,\ 0<t<T,\ u(0,t)=u(1,t)=0, & 0<t<T,\ u(x,0)=u_0(x), & 0<x<1, \end{cases}

où $u_0$ et $T>0$ sont données.

1. De quel type est ce problème ?

2. Supposons $u_0(x)=\sin(\pi x)+x(1-x)$. Montrer que la solution exacte s’écrit comme

$
u(x,t)=e^{-\pi^2t}\sin(\pi x)+x(1-x).

3. Considérons le maillage uniforme de pas en espace $h=\frac{1}{N+1}$ et en temps $k=\frac{T}{M+1}$. L’approximation de $u(ih,jk)$ est notée $u_{i,j}$. Écrire le schéma explicite, implicite et Crank-Nicolson pour $T=0.5$.

4. Écrire le système matriciel pour les trois schémas avec $h=\frac{1}{5}$ et $k=\frac{1}{100}$.

5. Comparer la solution approchée pour les trois schémas avec la solution exacte pour $0\leq x\leq1$ et $t=0.01$.

6. Est-ce que les trois schémas sont stables ?

Soit $f\in C^2([0,1])$. Le but est de calculer une approximation $u:[0,1]\to\mathbb{R}$ du problème suivant :

$ \begin{cases} -u''(x)+\frac{1}{x+1}u'(x)=f(x), & x\in ]0,1[,\ u(0)=a,\ u(1)=b. \end{cases}

On admet que ce problème admet une et une seule solution $u\in C^4(]0,1[)$. On cherche une solution approchée par la méthode des différences finies. Soit $N\in\mathbb{N}^*$. On pose $h=\frac{1}{N+1}$ et on note $u_i$ la valeur approchée de $u$ au point $x_i$, pour $i=1,\ldots,N$. On utilise les approximations centrées de $u'(x)$ et $u''(x)$ aux points $x_i$. On pose

$
u_h=(u_1,u_2,\ldots,u_N)^T.

1. Montrer que $u_h$ est solution d’un système linéaire de la forme $A_hu_h=b_h$, où $A_h\in\mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ et $b_h\in\mathbb{R}^N$ sont à déterminer.

2. Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant et donner une majoration de l’erreur de consistance, avec $u\in C^4(]0,1[)$.