مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة سعيدة - الدكتور مولاي الطاهر — الموضوع 01

1. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et soit $S \in \mathcal{L}(E)$ tel que $S \circ S = Id_E$. Quelles sont les valeurs propres possibles de $S$ ?

2. On considère $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3 = I_n$ où $I_n$ est la matrice unité dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

• Exprimer $(A + I_n)^3$ en fonction de $A$.
• En déduire que $(A + I_n)$ est inversible (on exprimera $(A + I_n)^{-1}$ en fonction de $A$).

3. On munit $\mathbb{R}^3$ de sa base canonique $B = (e_1, e_2, e_3)$. Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ représenté dans la base $B$ par la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 6 & -4 & -4 \\ 5 & -3 & -4 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

• Trouver les valeurs propres de $A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
• On suppose qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = A$. Montrer que

$$AM = MA.$$

• Trouver une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telle que

$$A = PDP^{-1}.$$

• Trouver toutes les matrices diagonales $d$ telles que $d^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
• Quel est le nombre de solutions de l'équation $M^2 = A$ ?

1. Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction

$$x \mapsto \ln(1 + x\cos^2 x).$$

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x\cos^2 x)}{4x}$.

2. Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_1^e \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}\,dx$ en faisant le changement $t = 1 + \ln x$.

3. Déterminer les points critiques de la fonction $f$ où

$$f(x, y) = y^3 + 3x^2 y - 6x^2 - 6y^2 + 2$$

et donner leur nature.

4. Calculer $\displaystyle\iint_D \frac{dx\,dy}{1 + x^2 + y^2}$, où $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < y < x,\ 1 < x^2 + y^2 < 4\}$.